MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fztpval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fztpval 12440
Description: Two ways of defining the first three values of a sequence on . (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fztpval (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fztpval
StepHypRef Expression
1 1z 11445 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 fztp 12435 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
4 df-3 11118 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
5 2cn 11129 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
6 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
75, 6addcomi 10265 . . . . . 6 (2 + 1) = (1 + 2)
84, 7eqtri 2673 . . . . 5 3 = (1 + 2)
98oveq2i 6701 . . . 4 (1...3) = (1...(1 + 2))
10 tpeq3 4311 . . . . . 6 (3 = (1 + 2) → {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)})
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)}
12 df-2 11117 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
13 tpeq2 4310 . . . . . 6 (2 = (1 + 1) → {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
1511, 14eqtri 2673 . . . 4 {1, 2, 3} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
163, 9, 153eqtr4i 2683 . . 3 (1...3) = {1, 2, 3}
1716raleqi 3172 . 2 (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)))
18 1ex 10073 . . 3 1 ∈ V
19 2ex 11130 . . 3 2 ∈ V
20 3ex 11134 . . 3 3 ∈ V
21 fveq2 6229 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
22 iftrue 4125 . . . 4 (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐴)
2321, 22eqeq12d 2666 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
24 fveq2 6229 . . . 4 (𝑥 = 2 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘2))
25 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
26 1lt2 11232 . . . . . . . 8 1 < 2
2725, 26gtneii 10187 . . . . . . 7 2 ≠ 1
28 neeq1 2885 . . . . . . 7 (𝑥 = 2 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
2927, 28mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
30 ifnefalse 4131 . . . . . 6 (𝑥 ≠ 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
3129, 30syl 17 . . . . 5 (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
32 iftrue 4125 . . . . 5 (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
3331, 32eqtrd 2685 . . . 4 (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐵)
3424, 33eqeq12d 2666 . . 3 (𝑥 = 2 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
35 fveq2 6229 . . . 4 (𝑥 = 3 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘3))
36 1lt3 11234 . . . . . . . 8 1 < 3
3725, 36gtneii 10187 . . . . . . 7 3 ≠ 1
38 neeq1 2885 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
3937, 38mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 1)
4039, 30syl 17 . . . . 5 (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶))
41 2re 11128 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
42 2lt3 11233 . . . . . . . 8 2 < 3
4341, 42gtneii 10187 . . . . . . 7 3 ≠ 2
44 neeq1 2885 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → (𝑥 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
4543, 44mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑥 = 3 → 𝑥 ≠ 2)
46 ifnefalse 4131 . . . . . 6 (𝑥 ≠ 2 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
4840, 47eqtrd 2685 . . . 4 (𝑥 = 3 → if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) = 𝐶)
4935, 48eqeq12d 2666 . . 3 (𝑥 = 3 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ (𝐹‘3) = 𝐶))
5018, 19, 20, 23, 34, 49raltp 4272 . 2 (∀𝑥 ∈ {1, 2, 3} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))
5117, 50bitri 264 1 (∀𝑥 ∈ (1...3)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, if(𝑥 = 2, 𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵 ∧ (𝐹‘3) = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  ifcif 4119  {ctp 4214  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977  2c2 11108  3c3 11109  cz 11415  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator