MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzval3 12359
Description: Expressing a closed integer range as a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzval3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzval3
StepHypRef Expression
1 peano2z 11251 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2 fzoval 12295 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
4 zcn 11215 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 9850 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 pncan 10138 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
74, 5, 6sylancl 692 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
87oveq2d 6543 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑁))
93, 8eqtr2d 2644 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9790  1c1 9793   + caddc 9795  cmin 10117  cz 11210  ...cfz 12152  ..^cfzo 12289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290
This theorem is referenced by:  fzosn  12360  fzofzp1  12386  fzisfzounsn  12400  ffz0iswrd  13133  fzosump1  14271  telfsum  14323  telfsum2  14324  sadadd  14973  sadass  14977  smuval2  14988  smumul  14999  prmgaplem7  15545  volsup  23048  rplogsumlem2  24891  rpvmasumlem  24893  dchrisumlem2  24896  dchrisum0flblem1  24914  dchrisum0flb  24916  selberg2lem  24956  logdivbnd  24962  pntrsumo1  24971  pntrlog2bndlem2  24984  pntrlog2bndlem4  24986  pntlemr  25008  fargshiftlem  25928  fargshiftfo  25932  wwlknred  26017  clwlkfclwwlk2wrd  26133  clwlkf1clwwlklem3  26141  extwwlkfablem2  26371  f1ocnt  28752  lmat22det  29022  meascnbl  29415  fibp1  29596  signsplypnf  29759  mblfinlem2  32420  itgspltprt  38675  fourierdlem20  38824  carageniuncllem1  39215  smfmullem2  39481  iccpartgtprec  39763  nnsum4primeseven  40021  nnsum4primesevenALTV  40022  1wlkdlem1  40893  wwlksnred  41100  clwlksfclwwlk2wrd  41267  clwlksf1clwwlklem3  41276  11wlkdlem1  41306  eupth2lem3  41406  nn0sumshdiglemA  42213  nn0sumshdiglemB  42214
  Copyright terms: Public domain W3C validator