MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzval3 12576
Description: Expressing a closed integer range as a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzval3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzval3
StepHypRef Expression
1 peano2z 11456 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2 fzoval 12510 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
4 zcn 11420 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 10032 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 pncan 10325 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
74, 5, 6sylancl 695 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
87oveq2d 6706 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑁))
93, 8eqtr2d 2686 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304  cz 11415  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  fz0add1fz1  12577  fzosn  12578  fzofzp1  12605  fzisfzounsn  12620  ffz0iswrd  13364  fzosump1  14525  telfsum  14580  telfsum2  14581  sadadd  15236  sadass  15240  smuval2  15251  smumul  15262  prmgaplem7  15808  volsup  23370  rplogsumlem2  25219  rpvmasumlem  25221  dchrisumlem2  25224  dchrisum0flblem1  25242  dchrisum0flb  25244  selberg2lem  25284  logdivbnd  25290  pntrsumo1  25299  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem4  25314  pntlemr  25336  wlkdlem1  26635  wwlknvtx  26793  wwlksnred  26855  clwlksfclwwlk2wrd  27045  clwlksf1clwwlklem3  27054  1wlkdlem1  27115  eupth2lem3  27214  f1ocnt  29687  lmat22det  30016  meascnbl  30410  fibp1  30591  signsplypnf  30755  fsum2dsub  30813  mblfinlem2  33577  itgspltprt  40513  fourierdlem20  40662  carageniuncllem1  41056  smfmullem2  41320  iccpartgtprec  41681  fargshiftfo  41703  sbgoldbo  42000  nnsum4primeseven  42013  nnsum4primesevenALTV  42014  nn0sumshdiglemA  42738  nn0sumshdiglemB  42739
  Copyright terms: Public domain W3C validator