MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gamcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gamcvg 24527
Description: The pointwise exponential of the series 𝐺 converges to Γ(𝐴) · 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamcvg.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
lgamcvg.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
Assertion
Ref Expression
gamcvg (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑚
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑚)

Proof of Theorem gamcvg
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11558 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11244 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 efcn 23946 . . . 4 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5 lgamcvg.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
65eldifad 3552 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
98peano2nnd 10887 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
109nnrpd 11705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
118nnrpd 11705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
1210, 11rpdivcld 11724 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
1312relogcld 24118 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
1413recnd 9925 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
157, 14mulcld 9917 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
168nncnd 10886 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
178nnne0d 10915 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
187, 16, 17divcld 10653 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑚) ∈ ℂ)
19 1cnd 9913 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
2018, 19addcld 9916 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
215adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2221, 8dmgmdivn0 24499 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
2320, 22logcld 24066 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
2415, 23subcld 10244 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
25 lgamcvg.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
2624, 25fmptd 6277 . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℂ)
2726ffvelrnda 6252 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
281, 2, 27serf 12649 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
2925, 5lgamcvg 24525 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
30 lgamcl 24512 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
315, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
325dmgmn0 24497 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
336, 32logcld 24066 . . . 4 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3431, 33addcld 9916 . . 3 (𝜑 → ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
351, 2, 4, 28, 29, 34climcncf 22459 . 2 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))
36 efadd 14612 . . . 4 (((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))))
3731, 33, 36syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))))
38 eflgam 24516 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
395, 38syl 17 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
40 eflog 24072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
416, 32, 40syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
4239, 41oveq12d 6545 . . 3 (𝜑 → ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))) = ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
4337, 42eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
4435, 43breqtrd 4604 1 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cdif 3537   class class class wbr 4578  cmpt 4638  ccom 5032  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796   · cmul 9798  cmin 10118   / cdiv 10536  cn 10870  cz 11213  seqcseq 12621  cli 14012  expce 14580  cnccncf 22435  logclog 24050  log Γclgam 24487  Γcgam 24488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-ef 14586  df-sin 14588  df-cos 14589  df-tan 14590  df-pi 14591  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-cmp 20948  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382  df-ulm 23880  df-log 24052  df-cxp 24053  df-lgam 24490  df-gam 24491
This theorem is referenced by:  gamcvg2  24531
  Copyright terms: Public domain W3C validator