MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gastacos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gastacos 18378
Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
Assertion
Ref Expression
gastacos ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑢,   𝑢,𝐴   𝑢,𝐺   𝑢,𝐵   𝑢,𝑋   𝑢,𝐶
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐻(𝑢)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem gastacos
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 gasta.2 . . . . . . 7 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
31, 2gastacl 18377 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43adantr 481 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 subgrcl 18222 . . . . 5 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
71subgss 18218 . . . . 5 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
84, 7syl 17 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐻𝑋)
9 eqid 2818 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
10 eqid 2818 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
11 orbsta.r . . . . 5 = (𝐺 ~QG 𝐻)
121, 9, 10, 11eqgval 18267 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻𝑋) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
136, 8, 12syl2anc 584 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
14 df-3an 1081 . . 3 ((𝐵𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻) ↔ ((𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻))
1513, 14syl6bb 288 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ ((𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
16 simpr 485 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝑋𝐶𝑋))
1716biantrurd 533 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
18 simpll 763 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
19 simprl 767 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
201, 9grpinvcl 18089 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
216, 19, 20syl2anc 584 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
22 simprr 769 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐶𝑋)
23 simplr 765 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴𝑌)
241, 10gaass 18365 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋𝐶𝑋𝐴𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)))
2518, 21, 22, 23, 24syl13anc 1364 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)))
2625eqeq1d 2820 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)) = 𝐴))
271, 10grpcl 18049 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋𝐶𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
286, 21, 22, 27syl3anc 1363 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
29 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑢 = (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) → (𝑢 𝐴) = ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴))
3029eqeq1d 2820 . . . . . 6 (𝑢 = (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
3130, 2elrab2 3680 . . . . 5 ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 ∧ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
3231baib 536 . . . 4 ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
3328, 32syl 17 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
341gaf 18363 . . . . . 6 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
3518, 34syl 17 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
3635, 22, 23fovrnd 7309 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐶 𝐴) ∈ 𝑌)
371, 9gacan 18373 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑌 ∧ (𝐶 𝐴) ∈ 𝑌)) → ((𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴) ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)) = 𝐴))
3818, 19, 23, 36, 37syl13anc 1364 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴) ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)) = 𝐴))
3926, 33, 383bitr4d 312 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴)))
4015, 17, 393bitr2d 308 1 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  wss 3933   class class class wbr 5057   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042  SubGrpcsubg 18211   ~QG cqg 18213   GrpAct cga 18357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-eqg 18216  df-ga 18358
This theorem is referenced by:  orbstafun  18379  orbsta  18381
  Copyright terms: Public domain W3C validator