MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2d 25144
Description: Gauss' Lemma (see also theorem 9.6 in [ApostolNT] p. 182) for integer 2: Let p be an odd prime. Let S={2,4,6,...,(p-1)}. Let n denote the number of elements of S whose least positive residue modulo p is greater than p/2. Then ( 2 | p ) = (-1)^n. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2d (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2d
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . 3 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5 gausslemma2d.n . . 3 𝑁 = (𝐻𝑀)
61, 2, 3, 4, 5gausslemma2dlem7 25143 . 2 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
7 eldifi 3765 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8 prmnn 15435 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
98nnred 11073 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
10 prmgt1 15456 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
119, 10jca 553 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
121, 7, 113syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
13 1mod 12742 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
1514eqcomd 2657 . . . 4 (𝜑 → 1 = (1 mod 𝑃))
1615eqeq2d 2661 . . 3 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 ↔ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
17 neg1z 11451 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℤ
181, 4, 2, 5gausslemma2dlem0h 25133 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
19 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
2017, 18, 19sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
21 2nn 11223 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
231, 2gausslemma2dlem0b 25127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
2423nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
2522, 24nnexpcld 13070 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℕ)
2625nnzd 11519 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
2720, 26zmulcld 11526 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
2827zred 11520 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ)
29 1red 10093 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3028, 29jca 553 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
3130adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
321gausslemma2dlem0a 25126 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
3332nnrpd 11908 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
3420, 33jca 553 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
3534adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
36 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
37 modmul1 12763 . . . . . 6 (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
3831, 35, 36, 37syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
3938ex 449 . . . 4 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃)))
4020zcnd 11521 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
4125nncnd 11074 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
4240, 41, 40mul32d 10284 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)))
4318nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
44432timesd 11313 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
4544eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 𝑁) = (2 · 𝑁))
4645oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (-1↑(2 · 𝑁)))
47 neg1cn 11162 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
4948, 18, 18expaddd 13050 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
5018nn0zd 11518 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
51 m1expeven 12947 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
5346, 49, 523eqtr3d 2693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
5453oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)) = (1 · (2↑𝐻)))
5541mulid2d 10096 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (2↑𝐻)) = (2↑𝐻))
5642, 54, 553eqtrd 2689 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (2↑𝐻))
5756oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((2↑𝐻) mod 𝑃))
5840mulid2d 10096 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · (-1↑𝑁)) = (-1↑𝑁))
5958oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
6057, 59eqeq12d 2666 . . . . 5 (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) ↔ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
612oveq2i 6701 . . . . . . . 8 (2↑𝐻) = (2↑((𝑃 − 1) / 2))
6261oveq1i 6700 . . . . . . 7 ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)
6362eqeq1i 2656 . . . . . 6 (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
64 2z 11447 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
65 lgsvalmod 25086 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
6664, 1, 65sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
6766eqcomd 2657 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
6867eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
691, 4, 2, 5gausslemma2dlem0i 25134 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7068, 69sylbid 230 . . . . . 6 (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7163, 70syl5bi 232 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7260, 71sylbid 230 . . . 4 (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7339, 72syld 47 . . 3 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7416, 73sylbid 230 . 2 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
756, 74mpd 15 1 (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cdif 3604  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  4c4 11110  0cn0 11330  cz 11415  +crp 11870  ...cfz 12364  cfl 12631   mod cmo 12708  cexp 12900  cprime 15432   /L clgs 25064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518  df-pc 15589  df-lgs 25065
This theorem is referenced by:  2lgs  25177
  Copyright terms: Public domain W3C validator