Theorem gausslemma2dlem0c 25928

Description: Auxiliary lemma 3 for gausslemma2d 25944. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0a.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0b.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0c	⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0a.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		eldifi 4102	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		gausslemma2dlem0b.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
5	1, 4	gausslemma2dlem0b 25927	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 11949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
7	3, 6	jca 514	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0))
8		prmnn 16012	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9		nnre 11639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
10		peano2rem 10947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
12		2re 11705	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
14	13, 9	remulcld 10665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (2 · 𝑃) ∈ ℝ)
15	9	ltm1d 11566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < 𝑃)
16		nnnn0 11898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
17	16	nn0ge0d 11952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
18		1le2 11840	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
20	9, 13, 17, 19	lemulge12d 11572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≤ (2 · 𝑃))
21	11, 9, 14, 15, 20	ltletrd 10794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃))
22		2pos 11734	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
23	12, 22	pm3.2i 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		ltdivmul 11509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
26	11, 9, 24, 25	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
27	21, 26	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
28	2, 8, 27	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
29	1, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
30	4, 29	eqbrtrid 5093	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 < 𝑃)
31		prmndvdsfaclt 16061	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (𝐻 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
32	7, 30, 31	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻))
33	6	faccld 13638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
34	33	nnzd 12080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℤ)
35		nnz 11998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
36	2, 8, 35	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
37	1, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
38		gcdcom 15856	. . . . 5 ⊢ (((!‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = (𝑃 gcd (!‘𝐻)))
39	34, 37, 38	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = (𝑃 gcd (!‘𝐻)))
40	39	eqeq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
41		coprm 16049	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝐻) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
42	3, 34, 41	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
43	40, 42	bitr4d 284	. 2 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
44	32, 43	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3932  {csn 4560   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11686  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  !cfa 13627   ∥ cdvds 15601   gcd cgcd 15837  ℙcprime 16009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-prm 16010

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  25943