Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem0f 24986
 Description: Auxiliary lemma 6 for gausslemma2d 24999. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0f (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0f
StepHypRef Expression
1 gausslemma2dlem0.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 eldifsn 4287 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
3 prm23ge5 15444 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
4 eqneqall 2801 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
5 orc 400 . . . . . . . 8 (𝑃 = 3 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
65a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 = 3 → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
7 olc 399 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
87a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
94, 6, 83jaoi 1388 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
103, 9syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
1110imp 445 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
122, 11sylbi 207 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
13 fldiv4p1lem1div2 12576 . . 3 ((𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
141, 12, 133syl 18 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
15 gausslemma2dlem0.m . . 3 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
1615oveq1i 6614 . 2 (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)
17 gausslemma2dlem0.h . 2 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
1814, 16, 173brtr4g 4647 1 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∨ w3o 1035   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∖ cdif 3552  {csn 4148   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  1c1 9881   + caddc 9883   ≤ cle 10019   − cmin 10210   / cdiv 10628  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  ℤ≥cuz 11631  ⌊cfl 12531  ℙcprime 15309 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310 This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  24996
 Copyright terms: Public domain W3C validator