MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem2 25870
Description: Lemma 2 for gausslemma2d 25877. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀   𝑥,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem2
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
32breq1d 5067 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
42oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
53, 2, 4ifbieq12d 4490 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
65adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
7 elfz1b 12964 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝑀))
8 nnre 11633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10 nnre 11633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12 2re 11699 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
13 2pos 11728 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1412, 13pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
16 lemul1 11480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑘𝑀 ↔ (𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2)))
179, 11, 15, 16syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘𝑀 ↔ (𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2)))
18 gausslemma2d.p . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
19 gausslemma2d.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
2018, 19gausslemma2dlem0e 25863 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))
2212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
238, 22remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
2512a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
2610, 25remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 2) ∈ ℝ)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 2) ∈ ℝ)
2818gausslemma2dlem0a 25859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2928nnred 11641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
3029rehalfcld 11872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
31 lelttr 10719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ) → (((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) ∧ (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
3224, 27, 30, 31syl2an3an 1414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → (((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) ∧ (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
3321, 32mpan2d 690 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
3433ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝜑 → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
3534com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
3617, 35sylbid 241 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘𝑀 → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
37363impia 1109 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝑀) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
387, 37sylbi 218 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
3938impcom 408 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
4039adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
4140iftrued 4471 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) = (𝑘 · 2))
426, 41eqtrd 2853 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑘 · 2))
4318, 19gausslemma2dlem0d 25862 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4443nn0zd 12073 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
45 gausslemma2d.h . . . . . . . 8 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
4618, 45gausslemma2dlem0b 25860 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
4746nnzd 12074 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
4818, 19, 45gausslemma2dlem0g 25865 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐻)
49 eluz2 12237 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐻))
5044, 47, 48, 49syl3anbrc 1335 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (ℤ𝑀))
51 fzss2 12935 . . . . 5 (𝐻 ∈ (ℤ𝑀) → (1...𝑀) ⊆ (1...𝐻))
5250, 51syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (1...𝐻))
5352sselda 3964 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
54 ovexd 7180 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ V)
551, 42, 53, 54fvmptd2 6768 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
5655ralrimiva 3179 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  Vcvv 3492  cdif 3930  wss 3933  ifcif 4463  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  4c4 11682  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  cfl 13148  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-prm 16004
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  25875
  Copyright terms: Public domain W3C validator