MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem4 25011
Description: Lemma 4 for gausslemma2d 25016. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem4 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem4
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
41, 2, 3gausslemma2dlem1 25008 . 2 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
5 eldif 3569 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}))
6 prm23ge5 15455 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
7 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ {2} ↔ 2 ∈ {2}))
87notbid 308 . . . . . . . 8 (𝑃 = 2 → (¬ 𝑃 ∈ {2} ↔ ¬ 2 ∈ {2}))
9 2ex 11044 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
109snid 4184 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ {2}
11102a1i 12 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 2 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) ≠ (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) → 2 ∈ {2}))
1211necon1bd 2808 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (¬ 2 ∈ {2} → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1312a1dd 50 . . . . . . . 8 (𝑃 = 2 → (¬ 2 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
148, 13sylbid 230 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
15 gausslemma2d.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
16 3lt4 11149 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
17 breq1 4621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 3 → (𝑃 < 4 ↔ 3 < 4))
1816, 17mpbiri 248 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 3 → 𝑃 < 4)
19 3nn0 11262 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
20 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ ℕ0))
2119, 20mpbiri 248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 3 → 𝑃 ∈ ℕ0)
22 4nn 11139 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
23 divfl0 12573 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 < 4 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0))
2421, 22, 23sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 3 → (𝑃 < 4 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0))
2518, 24mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 3 → (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0)
2615, 25syl5eq 2667 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 3 → 𝑀 = 0)
27 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (1...𝑀) = (1...0))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝑀) = (1...0))
29 fz10 12312 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...0) = ∅
3028, 29syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝑀) = ∅)
3130prodeq1d 14587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝑅𝑘))
32 prod0 14609 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ ∅ (𝑅𝑘) = 1
3331, 32syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = 1)
34 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 1) = (0 + 1))
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑀 + 1) = (0 + 1))
36 0p1e1 11084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
3735, 36syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑀 + 1) = 1)
3837oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ((𝑀 + 1)...𝐻) = (1...𝐻))
3938prodeq1d 14587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
4033, 39oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) = (1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘)))
41 fzfid 12720 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝐻) ∈ Fin)
423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2)))))
43 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
4443breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
4543oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
4644, 43, 45ifbieq12d 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
48 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
49 elfzelz 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
5049zcnd 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
51 2cnd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
54 eldifi 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
55 prmz 15324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5655zcnd 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
571, 54, 563syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℂ)
5958, 53subcld 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℂ)
6053, 59ifcld 4108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) ∈ ℂ)
6142, 47, 48, 60fvmptd 6250 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
6261, 60eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6362adantll 749 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6441, 63fprodcl 14618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6564mulid2d 10010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
6640, 65eqtr2d 2656 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
6766ex 450 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
6826, 67syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 = 3 → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
6968a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 = 3 → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
701, 15gausslemma2dlem0d 25001 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
7170nn0red 11304 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7271ltp1d 10906 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
73 fzdisj 12318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
7574adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
76 eluzelre 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 𝑃 ∈ ℝ)
77 4re 11049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ∈ ℝ)
79 4ne0 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ≠ 0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ≠ 0)
8176, 78, 80redivcld 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
8281flcld 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
83 nnrp 11794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
8422, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ ℝ+
85 eluz2 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃))
86 4lt5 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 < 5
87 5re 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 ∈ ℝ
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 5 ∈ ℝ)
89 zre 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
9089adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ)
91 ltleletr 10082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((4 < 5 ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃))
9277, 88, 90, 91mp3an2i 1426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((4 < 5 ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃))
9386, 92mpani 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (5 ≤ 𝑃 → 4 ≤ 𝑃))
94933impia 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃)
9585, 94sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ≤ 𝑃)
96 divge1 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 ∈ ℝ+𝑃 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 1 ≤ (𝑃 / 4))
9784, 76, 95, 96mp3an2i 1426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ≤ (𝑃 / 4))
98 1zzd 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ∈ ℤ)
99 flge 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑃 / 4) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
10081, 98, 99syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (1 ≤ (𝑃 / 4) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
10197, 100mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4)))
102 elnnz1 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
10382, 101, 102sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ)
104103adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ)
105 oddprm 15450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
107 prmuz2 15343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
10854, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
110 fldiv4lem1div2uz2 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
112104, 106, 1113jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
113112ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
1141, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
115114impcom 446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
1162oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝐻) = (1...((𝑃 − 1) / 2))
11715, 116eleq12i 2691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (1...𝐻) ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
118 elfz1b 12359 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
119117, 118bitri 264 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (1...𝐻) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
120115, 119sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ (1...𝐻))
121 fzsplit 12317 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (1...𝐻) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
123 fzfid 12720 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → (1...𝐻) ∈ Fin)
12462adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
12575, 122, 123, 124fprodsplit 14632 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
126125ex 450 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
127126a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
12814, 69, 1273jaoi 1388 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
1296, 128syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
130129imp 445 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1315, 130sylbi 207 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1321, 131mpcom 38 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
1334, 132eqtrd 2655 1 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3556  cun 3557  cin 3558  c0 3896  ifcif 4063  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  5c5 11025  0cn0 11244  cz 11329  cuz 11639  +crp 11784  ...cfz 12276  cfl 12539  !cfa 13008  cprod 14571  cprime 15320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-ioo 12129  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-prod 14572  df-dvds 14919  df-prm 15321
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  25014
  Copyright terms: Public domain W3C validator