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Theorem gausslemma2dlem4 25872
Description: Lemma 4 for gausslemma2d 25877. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem4 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem4
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
41, 2, 3gausslemma2dlem1 25869 . 2 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
5 eldif 3943 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}))
6 prm23ge5 16140 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
7 eleq1 2897 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ {2} ↔ 2 ∈ {2}))
87notbid 319 . . . . . . . 8 (𝑃 = 2 → (¬ 𝑃 ∈ {2} ↔ ¬ 2 ∈ {2}))
9 2ex 11702 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
109snid 4591 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ {2}
11102a1i 12 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 2 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) ≠ (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) → 2 ∈ {2}))
1211necon1bd 3031 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (¬ 2 ∈ {2} → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1312a1dd 50 . . . . . . . 8 (𝑃 = 2 → (¬ 2 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
148, 13sylbid 241 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
15 gausslemma2d.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
16 3lt4 11799 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
17 breq1 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 3 → (𝑃 < 4 ↔ 3 < 4))
1816, 17mpbiri 259 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 3 → 𝑃 < 4)
19 3nn0 11903 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
20 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ ℕ0))
2119, 20mpbiri 259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 3 → 𝑃 ∈ ℕ0)
22 4nn 11708 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
23 divfl0 13182 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 < 4 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0))
2421, 22, 23sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 3 → (𝑃 < 4 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0))
2518, 24mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 3 → (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0)
2615, 25syl5eq 2865 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 3 → 𝑀 = 0)
27 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (1...𝑀) = (1...0))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝑀) = (1...0))
29 fz10 12916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...0) = ∅
3028, 29syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝑀) = ∅)
3130prodeq1d 15263 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝑅𝑘))
32 prod0 15285 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ ∅ (𝑅𝑘) = 1
3331, 32syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = 1)
34 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 1) = (0 + 1))
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑀 + 1) = (0 + 1))
36 0p1e1 11747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
3735, 36syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑀 + 1) = 1)
3837oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ((𝑀 + 1)...𝐻) = (1...𝐻))
3938prodeq1d 15263 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
4033, 39oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) = (1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘)))
41 fzfid 13329 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝐻) ∈ Fin)
42 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
4342breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
4442oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
4543, 42, 44ifbieq12d 4490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
46 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
47 elfzelz 12896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
4847zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
49 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℂ)
5048, 49mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
52 eldifi 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
53 prmz 16007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5453zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
551, 52, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℂ)
5756, 51subcld 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℂ)
5851, 57ifcld 4508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) ∈ ℂ)
593, 45, 46, 58fvmptd3 6783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
6059, 58eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6160adantll 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6241, 61fprodcl 15294 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6362mulid2d 10647 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
6440, 63eqtr2d 2854 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
6564ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
6626, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 = 3 → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
6766a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 = 3 → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
681, 15gausslemma2dlem0d 25862 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
6968nn0red 11944 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7069ltp1d 11558 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
71 fzdisj 12922 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
7372adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
74 eluzelre 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 𝑃 ∈ ℝ)
75 4re 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℝ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ∈ ℝ)
77 4ne0 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ≠ 0)
7974, 76, 78redivcld 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
8079flcld 13156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
81 nnrp 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
8222, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ ℝ+
83 eluz2 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃))
84 4lt5 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 < 5
85 5re 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 ∈ ℝ
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 5 ∈ ℝ)
87 zre 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
8887adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ)
89 ltleletr 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((4 < 5 ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃))
9075, 86, 88, 89mp3an2i 1457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((4 < 5 ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃))
9184, 90mpani 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (5 ≤ 𝑃 → 4 ≤ 𝑃))
92913impia 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃)
9383, 92sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ≤ 𝑃)
94 divge1 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 ∈ ℝ+𝑃 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 1 ≤ (𝑃 / 4))
9582, 74, 93, 94mp3an2i 1457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ≤ (𝑃 / 4))
96 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ∈ ℤ)
97 flge 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑃 / 4) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
9879, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (1 ≤ (𝑃 / 4) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
9995, 98mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4)))
100 elnnz1 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
10180, 99, 100sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ)
102101adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ)
103 oddprm 16135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
104103adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
105 prmuz2 16028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
10652, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
107106adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
108 fldiv4lem1div2uz2 13194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
110102, 104, 1093jca 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
111110ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
1121, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
113112impcom 408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
1142oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝐻) = (1...((𝑃 − 1) / 2))
11515, 114eleq12i 2902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (1...𝐻) ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
116 elfz1b 12964 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
117115, 116bitri 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (1...𝐻) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
118113, 117sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ (1...𝐻))
119 fzsplit 12921 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (1...𝐻) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
121 fzfid 13329 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → (1...𝐻) ∈ Fin)
12260adantll 710 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
12373, 120, 121, 122fprodsplit 15308 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
124123ex 413 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
125124a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
12614, 67, 1253jaoi 1419 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
1276, 126syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
128127imp 407 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1295, 128sylbi 218 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1301, 129mpcom 38 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
1314, 130eqtrd 2853 1 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  cun 3931  cin 3932  c0 4288  ifcif 4463  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  ...cfz 12880  cfl 13148  !cfa 13621  cprod 15247  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-prod 15248  df-dvds 15596  df-prm 16004
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  25875
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