MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem5a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem5a 25012
Description: Lemma for gausslemma2dlem5 25013. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem5a (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5a
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . . 4 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . . 4 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . . 4 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem3 25010 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
6 prodeq2 14580 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)))
76oveq1d 6625 . . 3 (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
85, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
9 eldifi 3715 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
10 fzfid 12720 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
11 prmz 15324 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
13 elfzelz 12292 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 2z 11361 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
1613, 15zmulcld 11440 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
1716adantl 482 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
1812, 17zsubcld 11439 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
19 neg1z 11365 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → -1 ∈ ℤ)
2120, 16zmulcld 11440 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (-1 · (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
2221adantl 482 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (-1 · (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
23 prmnn 15323 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2416zcnd 11435 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
2524mulm1d 10434 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (-1 · (𝑘 · 2)) = -(𝑘 · 2))
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (-1 · (𝑘 · 2)) = -(𝑘 · 2))
2726oveq1d 6625 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (-(𝑘 · 2) mod 𝑃))
2816zred 11434 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
2923nnrpd 11822 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
30 negmod 12663 . . . . . 6 (((𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (-(𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
3128, 29, 30syl2anr 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (-(𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
3227, 31eqtr2d 2656 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = ((-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
3310, 18, 22, 23, 32fprodmodd 14664 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
341, 9, 333syl 18 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
358, 34eqtrd 2655 1 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cdif 3556  ifcif 4063  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9887  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cmin 10218  -cneg 10219   / cdiv 10636  2c2 11022  4c4 11024  cz 11329  +crp 11784  ...cfz 12276  cfl 12539   mod cmo 12616  cprod 14571  cprime 15320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-prod 14572  df-dvds 14919  df-prm 15321
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  25013
  Copyright terms: Public domain W3C validator