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Theorem gboage9 40944
Description: Any odd Goldbach number (strong version) is greater than or equal to 9. Because of 9gboa 40954, this bound is strict. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gboage9 (𝑍 ∈ GoldbachOddALTV → 9 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gboage9
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgboa 40933 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOddALTV ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
2 df-3an 1038 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
3 an6 1405 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
4 oddprmuzge3 40921 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) → 𝑝 ∈ (ℤ‘3))
5 oddprmuzge3 40921 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → 𝑞 ∈ (ℤ‘3))
6 oddprmuzge3 40921 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd ) → 𝑟 ∈ (ℤ‘3))
7 6p3e9 11114 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 3) = 9
8 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → 𝑝 ∈ ℤ)
9 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 𝑞 ∈ ℤ)
10 zaddcl 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
118, 9, 10syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
1211zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
13 eluzelre 11642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ (ℤ‘3) → 𝑟 ∈ ℝ)
1412, 13anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
15143impa 1256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
16 6re 11045 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℝ
17 3re 11038 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℝ
1816, 17pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
1915, 18jctil 559 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → ((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)))
20 3p3e6 11105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 3) = 6
21 eluzelre 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → 𝑝 ∈ ℝ)
22 eluzelre 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 𝑞 ∈ ℝ)
2321, 22anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
2417, 17pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
2523, 24jctil 559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → ((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)))
26 eluzle 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑝)
27 eluzle 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑞)
2826, 27anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞))
29 le2add 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
3025, 28, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞))
3120, 30syl5eqbrr 4649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
32313adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
33 eluzle 11644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑟)
34333ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → 3 ≤ 𝑟)
3532, 34jca 554 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → (6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟))
36 le2add 10454 . . . . . . . . . . . . 13 (((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → ((6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
3719, 35, 36sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
387, 37syl5eqbrr 4649 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
394, 5, 6, 38syl3an 1365 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
403, 39sylbi 207 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
412, 40sylanbr 490 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
42 breq2 4617 . . . . . . . 8 (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (9 ≤ 𝑍 ↔ 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4341, 42syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 9 ≤ 𝑍))
4443expimpd 628 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
4544rexlimdva 3024 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
4645a1i 11 . . . 4 (𝑍 ∈ Odd → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍)))
4746rexlimdvv 3030 . . 3 (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
4847imp 445 . 2 ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → 9 ≤ 𝑍)
491, 48sylbi 207 1 (𝑍 ∈ GoldbachOddALTV → 9 ≤ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879   + caddc 9883  cle 10019  3c3 11015  6c6 11018  9c9 11021  cz 11321  cuz 11631  cprime 15309   Odd codd 40834   GoldbachOddALTV cgboa 40927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310  df-even 40835  df-odd 40836  df-gboa 40930
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