Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gboge7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gboge7 39983
Description: Any odd Goldbach number is greater than or equal to 7. Because of 7gbo 39992, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gboge7 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 7 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gboge7
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gbogt5 39982 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 5 < 𝑍)
2 gbopos 39979 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 𝑍 ∈ ℕ)
3 5nn 11035 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
43nnzi 11234 . . . . . 6 5 ∈ ℤ
5 nnz 11232 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℕ → 𝑍 ∈ ℤ)
6 zltp1le 11260 . . . . . 6 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
74, 5, 6sylancr 693 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
87biimpd 217 . . . 4 (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
92, 8syl 17 . . 3 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
10 5p1e6 11002 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
1110breq1i 4584 . . . . 5 ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 6 ≤ 𝑍)
12 6re 10948 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
132nnred 10882 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 𝑍 ∈ ℝ)
14 leloe 9975 . . . . . 6 ((6 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
1512, 13, 14sylancr 693 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
1611, 15syl5bb 270 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
17 6nn 11036 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
1817nnzi 11234 . . . . . . 7 6 ∈ ℤ
192nnzd 11313 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 𝑍 ∈ ℤ)
20 zltp1le 11260 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑍))
2120biimpd 217 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
2218, 19, 21sylancr 693 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
23 6p1e7 11003 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
2423breq1i 4584 . . . . . 6 ((6 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 7 ≤ 𝑍)
2522, 24syl6ib 239 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → (6 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
26 isgbo 39972 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
27 eleq1 2675 . . . . . . . . 9 (6 = 𝑍 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑍 ∈ Odd ))
28 6even 39956 . . . . . . . . . 10 6 ∈ Even
29 evennodd 39892 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
30 pm2.21 118 . . . . . . . . . 10 (¬ 6 ∈ Odd → (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
3128, 29, 30mp2b 10 . . . . . . . . 9 (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍)
3227, 31syl6bir 242 . . . . . . . 8 (6 = 𝑍 → (𝑍 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
3332com12 32 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Odd → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3433adantr 479 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3526, 34sylbi 205 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3625, 35jaod 393 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → ((6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍) → 7 ≤ 𝑍))
3716, 36sylbid 228 . . 3 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → ((5 + 1) ≤ 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
389, 37syld 45 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → (5 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
391, 38mpd 15 1 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 7 ≤ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cn 10867  5c5 10920  6c6 10921  7c7 10922  cz 11210  cprime 15169   Even ceven 39873   Odd codd 39874   GoldbachOdd cgbo 39966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-dvds 14768  df-prm 15170  df-even 39875  df-odd 39876  df-gbo 39969
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator