MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcd0id Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcd0id 15171
Description: The gcd of 0 and an integer is the integer's absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcd0id (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem gcd0id
StepHypRef Expression
1 gcd0val 15150 . . . 4 (0 gcd 0) = 0
2 oveq2 6618 . . . 4 (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
3 fveq2 6153 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = (abs‘0))
4 abs0 13966 . . . . 5 (abs‘0) = 0
53, 4syl6eq 2671 . . . 4 (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = 0)
61, 2, 53eqtr4a 2681 . . 3 (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
76adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
8 0z 11339 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
9 gcddvds 15156 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
108, 9mpan 705 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
1110simprd 479 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
1211adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
13 gcdcl 15159 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
148, 13mpan 705 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
1514nn0zd 11431 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
16 dvdsleabs 14964 . . . . . 6 (((0 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
1715, 16syl3an1 1356 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
18173anidm12 1380 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
1912, 18mpd 15 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁))
20 zabscl 13994 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
21 dvds0 14928 . . . . . . 7 ((abs‘𝑁) ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
23 iddvds 14926 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
24 absdvdsb 14931 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
2524anidms 676 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
2623, 25mpbid 222 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 𝑁)
2722, 26jca 554 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
2827adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
29 eqid 2621 . . . . . . . 8 0 = 0
3029biantrur 527 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
3130necon3abii 2836 . . . . . 6 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
32 dvdslegcd 15157 . . . . . . . . 9 ((((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
3332ex 450 . . . . . . . 8 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
348, 33mp3an2 1409 . . . . . . 7 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
3520, 34mpancom 702 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
3631, 35syl5bi 232 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≠ 0 → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
3736imp 445 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
3828, 37mpd 15 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))
3915zred 11433 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
4020zred 11433 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
4139, 40letri3d 10130 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
4241adantr 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
4319, 38, 42mpbir2and 956 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
447, 43pm2.61dane 2877 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9887  cle 10026  0cn0 11243  cz 11328  abscabs 13915  cdvds 14914   gcd cgcd 15147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-dvds 14915  df-gcd 15148
This theorem is referenced by:  gcdid0  15172  nn0gcdsq  15391  dfphi2  15410  qqh0  29828
  Copyright terms: Public domain W3C validator