MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdaddm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdaddm 15177
Description: Adding a multiple of one operand of the gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdaddm ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))

Proof of Theorem gcdaddm
StepHypRef Expression
1 oveq1 6617 . . . . . 6 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 · 𝑀) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀))
21oveq1d 6625 . . . . 5 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁))
32oveq2d 6626 . . . 4 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)))
43eqeq2d 2631 . . 3 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁))))
5 oveq1 6617 . . . 4 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁))
6 id 22 . . . . 5 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
7 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
87oveq1d 6625 . . . . 5 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁))
96, 8oveq12d 6628 . . . 4 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)))
105, 9eqeq12d 2636 . . 3 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)) ↔ (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁))))
11 oveq2 6618 . . . 4 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
12 oveq2 6618 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
1312oveq2d 6626 . . . 4 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0))))
1411, 13eqeq12d 2636 . . 3 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → ((if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)) ↔ (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))))
15 0z 11339 . . . . 5 0 ∈ ℤ
1615elimel 4127 . . . 4 if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
1715elimel 4127 . . . 4 if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
1815elimel 4127 . . . 4 if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) ∈ ℤ
1916, 17, 18gcdaddmlem 15176 . . 3 (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
204, 10, 14, 19dedth3h 4118 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
21 zcn 11333 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
22 zcn 11333 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
23 mulcl 9971 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
2421, 22, 23syl2an 494 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
25 zcn 11333 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
26 addcom 10173 . . . . 5 (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
2724, 25, 26syl2an 494 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
28273impa 1256 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
2928oveq2d 6626 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))
3020, 29eqtrd 2655 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  ifcif 4063  (class class class)co 6610  cc 9885  0cc0 9887   + caddc 9890   · cmul 9892  cz 11328   gcd cgcd 15147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-dvds 14915  df-gcd 15148
This theorem is referenced by:  gcdadd  15178  gcdid  15179  modgcd  15184  gcdmultiple  15200  pythagtriplem4  15455  gcdi  15708  pgpfac1lem2  18402
  Copyright terms: Public domain W3C validator