MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdaddmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdaddmlem 15292
Description: Lemma for gcdaddm 15293. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
gcdaddmlem.1 𝐾 ∈ ℤ
gcdaddmlem.2 𝑀 ∈ ℤ
gcdaddmlem.3 𝑁 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
gcdaddmlem (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))

Proof of Theorem gcdaddmlem
StepHypRef Expression
1 gcdaddmlem.2 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ
2 gcdaddmlem.3 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
3 gcddvds 15272 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
41, 2, 3mp2an 708 . . . . . 6 ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
54simpli 473 . . . . 5 (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀
6 gcdcl 15275 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 2, 6mp2an 708 . . . . . . . . 9 (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0
87nn0zi 11440 . . . . . . . 8 (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ
9 gcdaddmlem.1 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℤ
10 1z 11445 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
11 dvds2ln 15061 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁))))
129, 10, 11mpanl12 718 . . . . . . . 8 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁))))
138, 1, 2, 12mp3an 1464 . . . . . . 7 (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁)))
144, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁))
15 zcn 11420 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
162, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℂ
1716mulid2i 10081 . . . . . . 7 (1 · 𝑁) = 𝑁
1817oveq2i 6701 . . . . . 6 ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁)) = ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)
1914, 18breqtri 4710 . . . . 5 (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)
20 zmulcl 11464 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
219, 1, 20mp2an 708 . . . . . . 7 (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ
22 zaddcl 11455 . . . . . . 7 (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ)
2321, 2, 22mp2an 708 . . . . . 6 ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ
24 dvdslegcd 15273 . . . . . . 7 ((((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
2524ex 449 . . . . . 6 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
268, 1, 23, 25mp3an 1464 . . . . 5 (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
275, 19, 26mp2ani 714 . . . 4 (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
28 gcddvds 15272 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
291, 23, 28mp2an 708 . . . . . 6 ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
3029simpli 473 . . . . 5 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀
31 gcdcl 15275 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℕ0)
321, 23, 31mp2an 708 . . . . . . . . 9 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℕ0
3332nn0zi 11440 . . . . . . . 8 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ
34 znegcl 11450 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
359, 34ax-mp 5 . . . . . . . . 9 -𝐾 ∈ ℤ
36 dvds2ln 15061 . . . . . . . . 9 (((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ)) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
3735, 10, 36mpanl12 718 . . . . . . . 8 (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
3833, 1, 23, 37mp3an 1464 . . . . . . 7 (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
3929, 38ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
40 zcn 11420 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
419, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℂ
42 zcn 11420 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
431, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℂ
4441, 43mulneg1i 10514 . . . . . . . 8 (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀)
45 zcn 11420 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℂ)
4623, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℂ
4746mulid2i 10081 . . . . . . . 8 (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)
4844, 47oveq12i 6702 . . . . . . 7 ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))) = (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
4941, 43mulcli 10083 . . . . . . . . . 10 (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ
5049negcli 10387 . . . . . . . . . 10 -(𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ
5149negidi 10388 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 · 𝑀) + -(𝐾 · 𝑀)) = 0
5249, 50, 51addcomli 10266 . . . . . . . . 9 (-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) = 0
5352oveq1i 6700 . . . . . . . 8 ((-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) + 𝑁) = (0 + 𝑁)
5450, 49, 16addassi 10086 . . . . . . . 8 ((-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) + 𝑁) = (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
5516addid2i 10262 . . . . . . . 8 (0 + 𝑁) = 𝑁
5653, 54, 553eqtr3i 2681 . . . . . . 7 (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = 𝑁
5748, 56eqtri 2673 . . . . . 6 ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))) = 𝑁
5839, 57breqtri 4710 . . . . 5 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁
59 dvdslegcd 15273 . . . . . . 7 ((((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
6059ex 449 . . . . . 6 (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
6133, 1, 2, 60mp3an 1464 . . . . 5 (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
6230, 58, 61mp2ani 714 . . . 4 (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
6327, 62anim12i 589 . . 3 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
648zrei 11421 . . . 4 (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ
6533zrei 11421 . . . 4 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℝ
6664, 65letri3i 10191 . . 3 ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ↔ ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
6763, 66sylibr 224 . 2 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
68 pm4.57 517 . . 3 (¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ↔ ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∨ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
69 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 0 → (𝐾 · 𝑀) = (𝐾 · 0))
7041mul01i 10264 . . . . . . . . . 10 (𝐾 · 0) = 0
7169, 70syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝐾 · 𝑀) = 0)
7271oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑀 = 0 → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (0 + 𝑁))
7372, 55syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 𝑁)
7473eqeq1d 2653 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
7574pm5.32i 670 . . . . 5 ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
76 oveq12 6699 . . . . . 6 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
77 oveq12 6699 . . . . . . 7 ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (0 gcd 0))
7875, 77sylbir 225 . . . . . 6 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (0 gcd 0))
7976, 78eqtr4d 2688 . . . . 5 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
8075, 79sylbi 207 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
8180, 79jaoi 393 . . 3 (((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∨ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
8268, 81sylbi 207 . 2 (¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
8367, 82pm2.61i 176 1 (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  -cneg 10305  0cn0 11330  cz 11415  cdvds 15027   gcd cgcd 15263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264
This theorem is referenced by:  gcdaddm  15293
  Copyright terms: Public domain W3C validator