MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdaddmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdaddmlem 15164
Description: Lemma for gcdaddm 15165. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
gcdaddmlem.1 𝐾 ∈ ℤ
gcdaddmlem.2 𝑀 ∈ ℤ
gcdaddmlem.3 𝑁 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
gcdaddmlem (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))

Proof of Theorem gcdaddmlem
StepHypRef Expression
1 gcdaddmlem.2 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ
2 gcdaddmlem.3 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
3 gcddvds 15144 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
41, 2, 3mp2an 707 . . . . . 6 ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
54simpli 474 . . . . 5 (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀
6 gcdcl 15147 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 2, 6mp2an 707 . . . . . . . . 9 (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0
87nn0zi 11347 . . . . . . . 8 (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ
9 gcdaddmlem.1 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℤ
10 1z 11352 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
11 dvds2ln 14933 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁))))
129, 10, 11mpanl12 717 . . . . . . . 8 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁))))
138, 1, 2, 12mp3an 1421 . . . . . . 7 (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁)))
144, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁))
15 zcn 11327 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
162, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℂ
1716mulid2i 9988 . . . . . . 7 (1 · 𝑁) = 𝑁
1817oveq2i 6616 . . . . . 6 ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁)) = ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)
1914, 18breqtri 4643 . . . . 5 (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)
20 zmulcl 11371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
219, 1, 20mp2an 707 . . . . . . 7 (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ
22 zaddcl 11362 . . . . . . 7 (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ)
2321, 2, 22mp2an 707 . . . . . 6 ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ
24 dvdslegcd 15145 . . . . . . 7 ((((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
2524ex 450 . . . . . 6 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
268, 1, 23, 25mp3an 1421 . . . . 5 (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
275, 19, 26mp2ani 713 . . . 4 (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
28 gcddvds 15144 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
291, 23, 28mp2an 707 . . . . . 6 ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
3029simpli 474 . . . . 5 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀
31 gcdcl 15147 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℕ0)
321, 23, 31mp2an 707 . . . . . . . . 9 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℕ0
3332nn0zi 11347 . . . . . . . 8 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ
34 znegcl 11357 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
359, 34ax-mp 5 . . . . . . . . 9 -𝐾 ∈ ℤ
36 dvds2ln 14933 . . . . . . . . 9 (((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ)) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
3735, 10, 36mpanl12 717 . . . . . . . 8 (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
3833, 1, 23, 37mp3an 1421 . . . . . . 7 (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
3929, 38ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
40 zcn 11327 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
419, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℂ
42 zcn 11327 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
431, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℂ
4441, 43mulneg1i 10421 . . . . . . . 8 (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀)
45 zcn 11327 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℂ)
4623, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℂ
4746mulid2i 9988 . . . . . . . 8 (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)
4844, 47oveq12i 6617 . . . . . . 7 ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))) = (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
4941, 43mulcli 9990 . . . . . . . . . 10 (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ
5049negcli 10294 . . . . . . . . . 10 -(𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ
5149negidi 10295 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 · 𝑀) + -(𝐾 · 𝑀)) = 0
5249, 50, 51addcomli 10173 . . . . . . . . 9 (-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) = 0
5352oveq1i 6615 . . . . . . . 8 ((-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) + 𝑁) = (0 + 𝑁)
5450, 49, 16addassi 9993 . . . . . . . 8 ((-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) + 𝑁) = (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
5516addid2i 10169 . . . . . . . 8 (0 + 𝑁) = 𝑁
5653, 54, 553eqtr3i 2656 . . . . . . 7 (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = 𝑁
5748, 56eqtri 2648 . . . . . 6 ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))) = 𝑁
5839, 57breqtri 4643 . . . . 5 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁
59 dvdslegcd 15145 . . . . . . 7 ((((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
6059ex 450 . . . . . 6 (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
6133, 1, 2, 60mp3an 1421 . . . . 5 (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
6230, 58, 61mp2ani 713 . . . 4 (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
6327, 62anim12i 589 . . 3 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
648zrei 11328 . . . 4 (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ
6533zrei 11328 . . . 4 (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℝ
6664, 65letri3i 10098 . . 3 ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ↔ ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
6763, 66sylibr 224 . 2 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
68 pm4.57 518 . . 3 (¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ↔ ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∨ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
69 oveq2 6613 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 0 → (𝐾 · 𝑀) = (𝐾 · 0))
7041mul01i 10171 . . . . . . . . . 10 (𝐾 · 0) = 0
7169, 70syl6eq 2676 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝐾 · 𝑀) = 0)
7271oveq1d 6620 . . . . . . . 8 (𝑀 = 0 → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (0 + 𝑁))
7372, 55syl6eq 2676 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 𝑁)
7473eqeq1d 2628 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
7574pm5.32i 668 . . . . 5 ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
76 oveq12 6614 . . . . . 6 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
77 oveq12 6614 . . . . . . 7 ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (0 gcd 0))
7875, 77sylbir 225 . . . . . 6 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (0 gcd 0))
7976, 78eqtr4d 2663 . . . . 5 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
8075, 79sylbi 207 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
8180, 79jaoi 394 . . 3 (((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∨ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
8268, 81sylbi 207 . 2 (¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
8367, 82pm2.61i 176 1 (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  cle 10020  -cneg 10212  0cn0 11237  cz 11322  cdvds 14902   gcd cgcd 15135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-gcd 15136
This theorem is referenced by:  gcdaddm  15165
  Copyright terms: Public domain W3C validator