Theorem gcdcllem3 15853

Description: Lemma for gcdn0cl 15854, gcddvds 15855 and dvdslegcd 15856. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcllem2.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑧 ∥ 𝑛}
gcdcllem2.2	⊢ 𝑅 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
gcdcllem3	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐾   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧,𝑛)   𝑆(𝑧,𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcllem2.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}
2	1	ssrab3 4060	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ ℤ
3		prssi 4757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ)
4		neorian 3114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ≠ 0 ∨ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
5		prid1g 4699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
6		neeq1 3081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
7	6	rspcev 3626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
8	5, 7	sylan 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
9	8	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
10		prid2g 4700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
11		neeq1 3081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
12	11	rspcev 3626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
13	10, 12	sylan 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
14	13	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
15	9, 14	jaodan 954	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∨ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
16	4, 15	sylan2br 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
17		gcdcllem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑧 ∥ 𝑛}
18	17	gcdcllem1 15851	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
19	3, 16, 18	syl2an2r 683	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
20	17, 1	gcdcllem2 15852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 = 𝑆)
21		neeq1 3081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
22		raleq 3408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
23	22	rexbidv 3300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
24	21, 23	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
25	20, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
26	25	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
27	19, 26	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥))
28		suprzcl2 12341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
29	2, 28	mp3an1 1444	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
30	27, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
31	2, 30	sseldi 3968	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ)
32	27	simprd 498	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥)
33		1dvds 15627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑀)
34		1dvds 15627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
35	33, 34	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁))
36		1z 12015	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
37		breq1 5072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 1 ∥ 𝑀))
38		breq1 5072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
39	37, 38	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁)))
40	39, 1	elrab2 3686	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ 𝑅 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁)))
41	36, 40	mpbiran 707	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑅 ↔ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁))
42	35, 41	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ 𝑅)
43	42	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 1 ∈ 𝑅)
44		suprzub 12342	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 1 ∈ 𝑅) → 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
45	2, 32, 43, 44	mp3an2i 1462	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
46		elnnz1 12011	. . 3 ⊢ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
47	31, 45, 46	sylanbrc 585	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ)
48		breq1 5072	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → (𝑥 ∥ 𝑀 ↔ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀))
49		breq1 5072	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
50	48, 49	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
51		breq1 5072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 𝑥 ∥ 𝑀))
52		breq1 5072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 ∥ 𝑁))
53	51, 52	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)))
54	53	cbvrabv 3494	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)}
55	1, 54	eqtri 2847	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)}
56	50, 55	elrab2 3686	. . . 4 ⊢ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅 ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
57	30, 56	sylib 220	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
58	57	simprd 498	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
59		breq1 5072	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 𝐾 ∥ 𝑀))
60		breq1 5072	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
61	59, 60	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)))
62	61, 1	elrab2 3686	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑅 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)))
63	62	biimpri 230	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → 𝐾 ∈ 𝑅)
64	63	3impb 1111	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑅)
65		suprzub 12342	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐾 ∈ 𝑅) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
66	65	3expia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝐾 ∈ 𝑅 → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
67	2, 66	mpan 688	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐾 ∈ 𝑅 → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
68	32, 64, 67	syl2im 40	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
69	47, 58, 68	3jca 1124	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  ∃wrex 3142  {crab 3145   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  {cpr 4572   class class class wbr 5069  supcsup 8907  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   < clt 10678   ≤ cle 10679  ℕcn 11641  ℤcz 11984   ∥ cdvds 15610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611

This theorem is referenced by:  gcdn0cl  15854  gcddvds  15855  dvdslegcd  15856