MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdcllem3 15147
Description: Lemma for gcdn0cl 15148, gcddvds 15149 and dvdslegcd 15150. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
gcdcllem2.1 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑧𝑛}
gcdcllem2.2 𝑅 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝑀𝑧𝑁)}
Assertion
Ref Expression
gcdcllem3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐾   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧,𝑛)   𝑆(𝑧,𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcdcllem2.2 . . . . 5 𝑅 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝑀𝑧𝑁)}
2 ssrab2 3666 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝑀𝑧𝑁)} ⊆ ℤ
31, 2eqsstri 3614 . . . 4 𝑅 ⊆ ℤ
4 prssi 4321 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ)
54adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → {𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ)
6 neorian 2884 . . . . . . . 8 ((𝑀 ≠ 0 ∨ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
7 prid1g 4265 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
8 neeq1 2852 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
98rspcev 3295 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
107, 9sylan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
1110adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
12 prid2g 4266 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
13 neeq1 2852 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
1413rspcev 3295 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
1512, 14sylan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
1615adantll 749 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
1711, 16jaodan 825 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∨ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
186, 17sylan2br 493 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
19 gcdcllem2.1 . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑧𝑛}
2019gcdcllem1 15145 . . . . . . 7 (({𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
215, 18, 20syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
2219, 1gcdcllem2 15146 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 = 𝑆)
23 neeq1 2852 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
24 raleq 3127 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 𝑆 → (∀𝑦𝑅 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
2524rexbidv 3045 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 𝑆 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑅 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
2623, 25anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑅 = 𝑆 → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑅 𝑦𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)))
2722, 26syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑅 𝑦𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)))
2827adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑅 𝑦𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)))
2921, 28mpbird 247 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑅 𝑦𝑥))
30 suprzcl2 11722 . . . . . 6 ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑅 𝑦𝑥) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
313, 30mp3an1 1408 . . . . 5 ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑅 𝑦𝑥) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
3229, 31syl 17 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
333, 32sseldi 3581 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ)
343a1i 11 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑅 ⊆ ℤ)
3529simprd 479 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑅 𝑦𝑥)
36 1dvds 14920 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑀)
37 1dvds 14920 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
3836, 37anim12i 589 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁))
39 1z 11351 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
40 breq1 4616 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → (𝑧𝑀 ↔ 1 ∥ 𝑀))
41 breq1 4616 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → (𝑧𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
4240, 41anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → ((𝑧𝑀𝑧𝑁) ↔ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁)))
4342, 1elrab2 3348 . . . . . . 7 (1 ∈ 𝑅 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁)))
4439, 43mpbiran 952 . . . . . 6 (1 ∈ 𝑅 ↔ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁))
4538, 44sylibr 224 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ 𝑅)
4645adantr 481 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 1 ∈ 𝑅)
47 suprzub 11723 . . . 4 ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑅 𝑦𝑥 ∧ 1 ∈ 𝑅) → 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
4834, 35, 46, 47syl3anc 1323 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
49 elnnz1 11347 . . 3 (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
5033, 48, 49sylanbrc 697 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ)
51 breq1 4616 . . . . . 6 (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → (𝑥𝑀 ↔ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀))
52 breq1 4616 . . . . . 6 (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → (𝑥𝑁 ↔ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
5351, 52anbi12d 746 . . . . 5 (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → ((𝑥𝑀𝑥𝑁) ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
54 breq1 4616 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑀𝑥𝑀))
55 breq1 4616 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑁𝑥𝑁))
5654, 55anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧𝑀𝑧𝑁) ↔ (𝑥𝑀𝑥𝑁)))
5756cbvrabv 3185 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝑀𝑧𝑁)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥𝑀𝑥𝑁)}
581, 57eqtri 2643 . . . . 5 𝑅 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥𝑀𝑥𝑁)}
5953, 58elrab2 3348 . . . 4 (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅 ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
6032, 59sylib 208 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
6160simprd 479 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
62 breq1 4616 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐾 → (𝑧𝑀𝐾𝑀))
63 breq1 4616 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐾 → (𝑧𝑁𝐾𝑁))
6462, 63anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐾 → ((𝑧𝑀𝑧𝑁) ↔ (𝐾𝑀𝐾𝑁)))
6564, 1elrab2 3348 . . . . 5 (𝐾𝑅 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)))
6665biimpri 218 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → 𝐾𝑅)
67663impb 1257 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾𝑅)
68 suprzub 11723 . . . . 5 ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑅 𝑦𝑥𝐾𝑅) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
69683expia 1264 . . . 4 ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑅 𝑦𝑥) → (𝐾𝑅𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
703, 69mpan 705 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑅 𝑦𝑥 → (𝐾𝑅𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
7135, 67, 70syl2im 40 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
7250, 61, 713jca 1240 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  wss 3555  c0 3891  {cpr 4150   class class class wbr 4613  supcsup 8290  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  cz 11321  cdvds 14907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908
This theorem is referenced by:  gcdn0cl  15148  gcddvds  15149  dvdslegcd  15150
  Copyright terms: Public domain W3C validator