MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdi 15900
Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gcdi.1 𝐾 ∈ ℕ0
gcdi.2 𝑅 ∈ ℕ0
gcdi.3 𝑁 ∈ ℕ0
gcdi.5 (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺
gcdi.4 ((𝐾 · 𝑁) + 𝑅) = 𝑀
Assertion
Ref Expression
gcdi (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺

Proof of Theorem gcdi
StepHypRef Expression
1 gcdi.1 . . . . . . 7 𝐾 ∈ ℕ0
2 gcdi.3 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ0
31, 2nn0mulcli 11444 . . . . . 6 (𝐾 · 𝑁) ∈ ℕ0
43nn0cni 11417 . . . . 5 (𝐾 · 𝑁) ∈ ℂ
5 gcdi.2 . . . . . 6 𝑅 ∈ ℕ0
65nn0cni 11417 . . . . 5 𝑅 ∈ ℂ
7 gcdi.4 . . . . 5 ((𝐾 · 𝑁) + 𝑅) = 𝑀
84, 6, 7addcomli 10341 . . . 4 (𝑅 + (𝐾 · 𝑁)) = 𝑀
98oveq2i 6776 . . 3 (𝑁 gcd (𝑅 + (𝐾 · 𝑁))) = (𝑁 gcd 𝑀)
101nn0zi 11515 . . . 4 𝐾 ∈ ℤ
112nn0zi 11515 . . . 4 𝑁 ∈ ℤ
125nn0zi 11515 . . . 4 𝑅 ∈ ℤ
13 gcdaddm 15369 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑅) = (𝑁 gcd (𝑅 + (𝐾 · 𝑁))))
1410, 11, 12, 13mp3an 1537 . . 3 (𝑁 gcd 𝑅) = (𝑁 gcd (𝑅 + (𝐾 · 𝑁)))
151, 2, 5numcl 11623 . . . . . 6 ((𝐾 · 𝑁) + 𝑅) ∈ ℕ0
167, 15eqeltrri 2800 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
1716nn0zi 11515 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ
18 gcdcom 15358 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
1917, 11, 18mp2an 710 . . 3 (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀)
209, 14, 193eqtr4i 2756 . 2 (𝑁 gcd 𝑅) = (𝑀 gcd 𝑁)
21 gcdi.5 . 2 (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺
2220, 21eqtr3i 2748 1 (𝑀 gcd 𝑁) = 𝐺
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1596  wcel 2103  (class class class)co 6765   + caddc 10052   · cmul 10054  0cn0 11405  cz 11490   gcd cgcd 15339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-dvds 15104  df-gcd 15340
This theorem is referenced by:  1259lem5  15965  2503lem3  15969  4001lem4  15974
  Copyright terms: Public domain W3C validator