MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdmodi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdmodi 15565
Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. Theorem 5.6 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gcdi.1 𝐾 ∈ ℕ0
gcdi.2 𝑅 ∈ ℕ0
gcdmodi.3 𝑁 ∈ ℕ
gcdmodi.4 (𝐾 mod 𝑁) = (𝑅 mod 𝑁)
gcdmodi.5 (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺
Assertion
Ref Expression
gcdmodi (𝐾 gcd 𝑁) = 𝐺

Proof of Theorem gcdmodi
StepHypRef Expression
1 gcdmodi.4 . . . 4 (𝐾 mod 𝑁) = (𝑅 mod 𝑁)
21oveq1i 6537 . . 3 ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁)
3 gcdi.1 . . . . 5 𝐾 ∈ ℕ0
43nn0zi 11238 . . . 4 𝐾 ∈ ℤ
5 gcdmodi.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
6 modgcd 15040 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝐾 gcd 𝑁))
74, 5, 6mp2an 704 . . 3 ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝐾 gcd 𝑁)
8 gcdi.2 . . . . 5 𝑅 ∈ ℕ0
98nn0zi 11238 . . . 4 𝑅 ∈ ℤ
10 modgcd 15040 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁))
119, 5, 10mp2an 704 . . 3 ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁)
122, 7, 113eqtr3i 2640 . 2 (𝐾 gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁)
135nnzi 11237 . . 3 𝑁 ∈ ℤ
14 gcdcom 15022 . . 3 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅))
159, 13, 14mp2an 704 . 2 (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅)
16 gcdmodi.5 . 2 (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺
1712, 15, 163eqtri 2636 1 (𝐾 gcd 𝑁) = 𝐺
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6527  cn 10870  0cn0 11142  cz 11213   mod cmo 12488   gcd cgcd 15003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-dvds 14771  df-gcd 15004
This theorem is referenced by:  1259lem5  15629  2503lem3  15633  4001lem4  15638
  Copyright terms: Public domain W3C validator