Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdmultiple Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdmultiple 15193
 Description: The GCD of a multiple of a number is the number itself. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
gcdmultiple ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultiple
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 1))
21oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 1)))
32eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑘 = 1 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀))
43imbi2d 330 . . 3 (𝑘 = 1 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀)))
5 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 𝑛))
65oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)))
76eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀))
87imbi2d 330 . . 3 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀)))
9 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑛 + 1)))
109oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))))
1110eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
1211imbi2d 330 . . 3 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
13 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 𝑁))
1413oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
1514eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
1615imbi2d 330 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)))
17 nncn 10972 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
1817mulid1d 10001 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
1918oveq2d 6620 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = (𝑀 gcd 𝑀))
20 nnz 11343 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
21 gcdid 15172 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
23 nnre 10971 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
24 nnnn0 11243 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
2524nn0ge0d 11298 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
2623, 25absidd 14095 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘𝑀) = 𝑀)
2722, 26eqtrd 2655 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 𝑀) = 𝑀)
2819, 27eqtrd 2655 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀)
2920adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
30 nnz 11343 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
31 zmulcl 11370 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ)
3220, 30, 31syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ)
33 1z 11351 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
34 gcdaddm 15170 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
3533, 34mp3an1 1408 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
3629, 32, 35syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
37 nncn 10972 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
38 ax-1cn 9938 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
39 adddi 9969 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)))
4038, 39mp3an3 1410 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)))
41 mulcom 9966 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
4238, 41mpan2 706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
4443oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
4540, 44eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
4617, 37, 45syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
4746oveq2d 6620 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
4836, 47eqtr4d 2658 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))))
4948eqeq1d 2623 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
5049biimpd 219 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
5150expcom 451 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
5251a2d 29 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
534, 8, 12, 16, 28, 52nnind 10982 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
5453impcom 446 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  ℕcn 10964  ℤcz 11321  abscabs 13908   gcd cgcd 15140 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141 This theorem is referenced by:  gcdmultiplez  15194  rpmulgcd  15199
 Copyright terms: Public domain W3C validator