MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdmultiplez Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdmultiplez 15205
Description: Extend gcdmultiple 15204 so 𝑁 can be an integer. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
gcdmultiplez ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultiplez
StepHypRef Expression
1 oveq2 6618 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
21oveq2d 6626 . . 3 (𝑁 = 0 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 0)))
32eqeq1d 2623 . 2 (𝑁 = 0 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = 𝑀))
4 nncn 10980 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
5 zcn 11334 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
6 absmul 13976 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
74, 5, 6syl2an 494 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
8 nnre 10979 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
9 nnnn0 11251 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
109nn0ge0d 11306 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
118, 10absidd 14103 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘𝑀) = 𝑀)
1211oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
147, 13eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
1514oveq2d 6626 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))))
1615adantr 481 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))))
17 simpll 789 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℕ)
1817nnzd 11433 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
19 nnz 11351 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
20 zmulcl 11378 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
2119, 20sylan 488 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
2221adantr 481 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
23 gcdabs2 15187 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
2418, 22, 23syl2anc 692 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
25 nnabscl 14007 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
26 gcdmultiple 15204 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
2725, 26sylan2 491 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
2827anassrs 679 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
2916, 24, 283eqtr3d 2663 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)
30 mul01 10167 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 0) = 0)
3130oveq2d 6626 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
324, 31syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
3332adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
34 nn0gcdid0 15177 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
359, 34syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
3635adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
3733, 36eqtrd 2655 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = 𝑀)
383, 29, 37pm2.61ne 2875 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888   · cmul 9893  cn 10972  0cn0 11244  cz 11329  abscabs 13916   gcd cgcd 15151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-gcd 15152
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator