MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchcda1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchcda1 9438
Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal successor. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchcda1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchcda1
StepHypRef Expression
1 1onn 7679 . . . . . 6 1𝑜 ∈ ω
21a1i 11 . . . . 5 𝐴 ∈ Fin → 1𝑜 ∈ ω)
3 cdadom3 8970 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1𝑜 ∈ ω) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
42, 3sylan2 491 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
5 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6 nnfi 8113 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ∈ Fin)
71, 6mp1i 13 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ Fin → 1𝑜 ∈ Fin)
8 fidomtri2 8780 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1𝑜 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1𝑜 ↔ ¬ 1𝑜𝐴))
97, 8sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1𝑜 ↔ ¬ 1𝑜𝐴))
101, 6mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1𝑜 ∈ Fin)
11 domfi 8141 . . . . . . . . 9 ((1𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 1𝑜) → 𝐴 ∈ Fin)
1211ex 450 . . . . . . . 8 (1𝑜 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 1𝑜𝐴 ∈ Fin))
1310, 12syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1𝑜𝐴 ∈ Fin))
149, 13sylbird 250 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 1𝑜𝐴𝐴 ∈ Fin))
155, 14mt3d 140 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1𝑜𝐴)
16 canthp1 9436 . . . . 5 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)
184, 17jca 554 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴))
19 gchen1 9407 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
2018, 19mpdan 701 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
2120ensymd 7967 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  𝒫 cpw 4136   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  ωcom 7027  1𝑜c1o 7513  cen 7912  cdom 7913  csdm 7914  Fincfn 7915   +𝑐 ccda 8949  GCHcgch 9402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-gch 9403
This theorem is referenced by:  gchinf  9439  gchcdaidm  9450  gchpwdom  9452
  Copyright terms: Public domain W3C validator