MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchcdaidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchcdaidm 9528
Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal sum. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchcdaidm ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchcdaidm
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
2 cdadom3 9048 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
31, 1, 2syl2anc 694 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
4 canth2g 8155 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
6 sdomdom 8025 . . . . . . . 8 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8 cdadom1 9046 . . . . . . . 8 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐴))
9 cdadom2 9047 . . . . . . . 8 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
10 domtr 8050 . . . . . . . 8 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
118, 9, 10syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
127, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
13 pwcda1 9054 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ GCH → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
15 gchcda1 9516 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴)
16 pwen 8174 . . . . . . . 8 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴)
18 entr 8049 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
1914, 17, 18syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
20 domentr 8056 . . . . . 6 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
2112, 19, 20syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
22 gchinf 9517 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
23 pwcdandom 9527 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
25 ensym 8046 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))
26 endom 8024 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
2824, 27nsyl 135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
29 brsdom 8020 . . . . 5 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
3021, 28, 29sylanbrc 699 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
313, 30jca 553 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
32 gchen1 9485 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))
3331, 32mpdan 703 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))
3433ensymd 8048 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wcel 2030  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ωcom 7107  1𝑜c1o 7598  cen 7994  cdom 7995  csdm 7996  Fincfn 7997   +𝑐 ccda 9027  GCHcgch 9480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-seqom 7588  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-oexp 7611  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-har 8504  df-cnf 8597  df-card 8803  df-cda 9028  df-fin4 9147  df-gch 9481
This theorem is referenced by:  gchxpidm  9529  gchpwdom  9530  gchhar  9539
  Copyright terms: Public domain W3C validator