MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchcdaidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchcdaidm 9346
Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal sum. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchcdaidm ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchcdaidm
StepHypRef Expression
1 simpl 471 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
2 cdadom3 8870 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
31, 1, 2syl2anc 690 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
4 canth2g 7976 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
54adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
6 sdomdom 7846 . . . . . . . 8 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8 cdadom1 8868 . . . . . . . 8 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐴))
9 cdadom2 8869 . . . . . . . 8 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
10 domtr 7872 . . . . . . . 8 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
118, 9, 10syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
127, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
13 pwcda1 8876 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ GCH → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
1413adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
15 gchcda1 9334 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴)
16 pwen 7995 . . . . . . . 8 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴)
18 entr 7871 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
1914, 17, 18syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
20 domentr 7878 . . . . . 6 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
2112, 19, 20syl2anc 690 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
22 gchinf 9335 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
23 pwcdandom 9345 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
25 ensym 7868 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))
26 endom 7845 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
2824, 27nsyl 133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
29 brsdom 7841 . . . . 5 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
3021, 28, 29sylanbrc 694 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
313, 30jca 552 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
32 gchen1 9303 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))
3331, 32mpdan 698 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))
3433ensymd 7870 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  wcel 1976  𝒫 cpw 4107   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  ωcom 6934  1𝑜c1o 7417  cen 7815  cdom 7816  csdm 7817  Fincfn 7818   +𝑐 ccda 8849  GCHcgch 9298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-seqom 7407  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-oexp 7430  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-har 8323  df-cnf 8419  df-card 8625  df-cda 8850  df-fin4 8969  df-gch 9299
This theorem is referenced by:  gchxpidm  9347  gchpwdom  9348  gchhar  9357
  Copyright terms: Public domain W3C validator