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Theorem gchina 10109
Description: Assuming the GCH, weakly and strongly inaccessible cardinals coincide. Theorem 11.20 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchina (GCH = V → Inaccw = Inacc)

Proof of Theorem gchina
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inaccw)
2 idd 24 . . . . . . 7 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 ≠ ∅))
3 idd 24 . . . . . . 7 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((cf‘𝑥) = 𝑥 → (cf‘𝑥) = 𝑥))
4 pwfi 8807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
5 isfinite 9103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ≺ ω)
6 winainf 10104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝑥)
7 ssdomg 8543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝑥 → ω ≼ 𝑥))
86, 7mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ Inaccw → ω ≼ 𝑥)
9 sdomdomtr 8638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝒫 𝑦 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝑥) → 𝒫 𝑦𝑥)
109expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ω ≼ 𝑥 → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦𝑥))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦𝑥))
125, 11syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦𝑥))
134, 12syl5bi 243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Inaccw → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦𝑥))
1413ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦𝑥))
1514a1dd 50 . . . . . . . . . 10 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → (𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥)))
16 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
17 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → GCH = V)
1816, 17eleqtrrid 2917 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ GCH)
19 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ¬ 𝑦 ∈ Fin)
20 gchinf 10067 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ GCH ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑦)
2118, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ω ≼ 𝑦)
22 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
2322, 17eleqtrrid 2917 . . . . . . . . . . . . 13 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ GCH)
24 gchpwdom 10080 . . . . . . . . . . . . 13 ((ω ≼ 𝑦𝑦 ∈ GCH ∧ 𝑧 ∈ GCH) → (𝑦𝑧 ↔ 𝒫 𝑦𝑧))
2521, 18, 23, 24syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦𝑧 ↔ 𝒫 𝑦𝑧))
26 winacard 10102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ Inaccw → (card‘𝑥) = 𝑥)
27 iscard 9392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((card‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑧𝑥 𝑧𝑥))
2827simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((card‘𝑥) = 𝑥 → ∀𝑧𝑥 𝑧𝑥)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ Inaccw → ∀𝑧𝑥 𝑧𝑥)
3029ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) → ∀𝑧𝑥 𝑧𝑥)
3130r19.21bi 3205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
32 domsdomtr 8640 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝒫 𝑦𝑧𝑧𝑥) → 𝒫 𝑦𝑥)
3332expcom 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑥 → (𝒫 𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥))
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝑥) → (𝒫 𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥))
3534adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝒫 𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥))
3625, 35sylbid 241 . . . . . . . . . . 11 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥))
3736expr 457 . . . . . . . . . 10 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝑥) → (¬ 𝑦 ∈ Fin → (𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥)))
3815, 37pm2.61d 180 . . . . . . . . 9 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝑥) → (𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥))
3938rexlimdva 3281 . . . . . . . 8 (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧𝑥 𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥))
4039ralimdva 3174 . . . . . . 7 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 𝑦𝑧 → ∀𝑦𝑥 𝒫 𝑦𝑥))
412, 3, 403anim123d 1434 . . . . . 6 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 𝑦𝑧) → (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 𝒫 𝑦𝑥)))
42 elwina 10096 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Inaccw ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 𝑦𝑧))
43 elina 10097 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Inacc ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 𝒫 𝑦𝑥))
4441, 42, 433imtr4g 297 . . . . 5 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ∈ Inaccw𝑥 ∈ Inacc))
451, 44mpd 15 . . . 4 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inacc)
4645ex 413 . . 3 (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw𝑥 ∈ Inacc))
47 inawina 10100 . . 3 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
4846, 47impbid1 226 . 2 (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw𝑥 ∈ Inacc))
4948eqrdv 2816 1 (GCH = V → Inaccw = Inacc)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535   class class class wbr 5057  Oncon0 6184  cfv 6348  ωcom 7569  cdom 8495  csdm 8496  Fincfn 8497  cardccrd 9352  cfccf 9354  GCHcgch 10030  Inaccwcwina 10092  Inacccina 10093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-seqom 8073  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-oexp 8097  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-har 9010  df-wdom 9011  df-cnf 9113  df-dju 9318  df-card 9356  df-cf 9358  df-fin4 9697  df-gch 10031  df-wina 10094  df-ina 10095
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