Theorem gchor 9612

Description: If 𝐴 ≤ 𝐵 ≤ 𝒫 𝐴, and 𝐴 is an infinite GCH-set, then either 𝐴 = 𝐵 or 𝐵 = 𝒫 𝐴 in cardinality. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchor	⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem gchor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 813	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
2		brdom2 8139	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))
3	1, 2	sylib 208	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))
4		gchen1 9610	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5	4	expr 644	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
6	5	adantrr 755	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
7	6	orim1d 920	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴)))
8	3, 7	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ∨ 𝐵 ≈ 𝒫 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∈ wcel 2127  𝒫 cpw 4290   class class class wbr 4792   ≈ cen 8106   ≼ cdom 8107   ≺ csdm 8108  Fincfn 8109  GCHcgch 9605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pr 5043

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-br 4793  df-opab 4853  df-xp 5260  df-rel 5261  df-f1o 6044  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-gch 9606

This theorem is referenced by:  gchdomtri  9614  gchpwdom  9655