MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchxpidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchxpidm 9604
Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal product. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchxpidm ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchxpidm
StepHypRef Expression
1 0ex 4898 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . 7 𝐴 ∈ Fin → ∅ ∈ V)
3 xpsneng 8161 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
42, 3sylan2 492 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
54ensymd 8123 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
6 df1o2 7692 . . . . . . 7 1𝑜 = {∅}
7 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
8 0fin 8304 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ Fin
97, 8syl6eqel 2811 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
109necon3bi 2922 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≠ ∅)
1110adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12 0sdomg 8205 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ GCH → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1312adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1411, 13mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∅ ≺ 𝐴)
15 0sdom1dom 8274 . . . . . . . 8 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴)
1614, 15sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1𝑜𝐴)
176, 16syl5eqbrr 4796 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {∅} ≼ 𝐴)
18 xpdom2g 8172 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ {∅} ≼ 𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1917, 18syldan 488 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20 endomtr 8130 . . . . 5 ((𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}) ∧ (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
215, 19, 20syl2anc 696 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
22 canth2g 8230 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
2322adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
24 sdomdom 8100 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
26 xpdom1g 8173 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴))
2725, 26syldan 488 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴))
28 pwexg 4955 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2928adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
30 xpdom2g 8172 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
3129, 25, 30syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
32 domtr 8125 . . . . . . 7 (((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴)) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
3327, 31, 32syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
34 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
35 pwcdaen 9120 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
3634, 35syldan 488 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
3736ensymd 8123 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴))
38 gchcdaidm 9603 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)
39 pwen 8249 . . . . . . . 8 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
41 entr 8124 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
4237, 40, 41syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
43 domentr 8131 . . . . . 6 (((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
4433, 42, 43syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
45 gchinf 9592 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
46 pwxpndom 9601 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
4745, 46syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
48 ensym 8121 . . . . . . 7 ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
49 endom 8099 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
5048, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
5147, 50nsyl 135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
52 brsdom 8095 . . . . 5 ((𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
5344, 51, 52sylanbrc 701 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
5421, 53jca 555 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
55 gchen1 9560 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
5654, 55mpdan 705 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
5756ensymd 8123 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  Vcvv 3304  c0 4023  𝒫 cpw 4266  {csn 4285   class class class wbr 4760   × cxp 5216  (class class class)co 6765  ωcom 7182  1𝑜c1o 7673  cen 8069  cdom 8070  csdm 8071  Fincfn 8072   +𝑐 ccda 9102  GCHcgch 9555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-seqom 7663  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-oexp 7686  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-oi 8531  df-har 8579  df-cnf 8672  df-card 8878  df-cda 9103  df-fin4 9222  df-gch 9556
This theorem is referenced by:  gchhar  9614
  Copyright terms: Public domain W3C validator