MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchxpidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchxpidm 9435
Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal product. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchxpidm ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchxpidm
StepHypRef Expression
1 0ex 4750 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . 7 𝐴 ∈ Fin → ∅ ∈ V)
3 xpsneng 7989 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
42, 3sylan2 491 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
54ensymd 7951 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
6 df1o2 7517 . . . . . . 7 1𝑜 = {∅}
7 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
8 0fin 8132 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ Fin
97, 8syl6eqel 2706 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
109necon3bi 2816 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≠ ∅)
1110adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12 0sdomg 8033 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ GCH → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1411, 13mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∅ ≺ 𝐴)
15 0sdom1dom 8102 . . . . . . . 8 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴)
1614, 15sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1𝑜𝐴)
176, 16syl5eqbrr 4649 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {∅} ≼ 𝐴)
18 xpdom2g 8000 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ {∅} ≼ 𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1917, 18syldan 487 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20 endomtr 7958 . . . . 5 ((𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}) ∧ (𝐴 × {∅}) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
215, 19, 20syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
22 canth2g 8058 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
24 sdomdom 7927 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
26 xpdom1g 8001 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴))
2725, 26syldan 487 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴))
28 pwexg 4810 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
30 xpdom2g 8000 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
3129, 25, 30syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
32 domtr 7953 . . . . . . 7 (((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴)) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
3327, 31, 32syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
34 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
35 pwcdaen 8951 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
3634, 35syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
3736ensymd 7951 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴))
38 gchcdaidm 9434 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)
39 pwen 8077 . . . . . . . 8 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
41 entr 7952 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
4237, 40, 41syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
43 domentr 7959 . . . . . 6 (((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
4433, 42, 43syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴)
45 gchinf 9423 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)
46 pwxpndom 9432 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
4745, 46syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
48 ensym 7949 . . . . . . 7 ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
49 endom 7926 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
5048, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
5147, 50nsyl 135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
52 brsdom 7922 . . . . 5 ((𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 × 𝐴) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
5344, 51, 52sylanbrc 697 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)
5421, 53jca 554 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴))
55 gchen1 9391 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
5654, 55mpdan 701 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
5756ensymd 7951 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   class class class wbr 4613   × cxp 5072  (class class class)co 6604  ωcom 7012  1𝑜c1o 7498  cen 7896  cdom 7897  csdm 7898  Fincfn 7899   +𝑐 ccda 8933  GCHcgch 9386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-seqom 7488  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-oexp 7511  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-oi 8359  df-har 8407  df-cnf 8503  df-card 8709  df-cda 8934  df-fin4 9053  df-gch 9387
This theorem is referenced by:  gchhar  9445
  Copyright terms: Public domain W3C validator