Theorem ge0nemnf2 40073

Description: A nonnegative extended real is not -∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ge0nemnf2	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem ge0nemnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccxr 40055	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		0xr 10124	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 10130	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
7		iccgelb 12268	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
9		ge0nemnf 12042	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
10	1, 8, 9	syl2anc 694	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  ℝ^*cxr 10111   ≤ cle 10113  [,]cicc 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-icc 12220

This theorem is referenced by:  sge0split  40944