Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ge0nemnf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0nemnf2 40073
Description: A nonnegative extended real is not -∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ge0nemnf2 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem ge0nemnf2
StepHypRef Expression
1 eliccxr 40055 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 0xr 10124 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10130 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
6 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
7 iccgelb 12268 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
83, 5, 6, 7syl3anc 1366 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
9 ge0nemnf 12042 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
101, 8, 9syl2anc 694 1 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111  cle 10113  [,]cicc 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-icc 12220
This theorem is referenced by:  sge0split  40944
  Copyright terms: Public domain W3C validator