MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geo2sum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geo2sum2 14530
Description: The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum2
StepHypRef Expression
1 nn0z 11344 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2 fzoval 12412 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
43sumeq1d 14365 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘))
5 2cn 11035 . . . 4 2 ∈ ℂ
65a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
7 1ne2 11184 . . . . 5 1 ≠ 2
87necomi 2844 . . . 4 2 ≠ 1
98a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
10 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
116, 9, 10geoser 14524 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
126, 10expcld 12948 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
13 ax-1cn 9938 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1512, 14subcld 10336 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
16 ax-1ne0 9949 . . . . 5 1 ≠ 0
1716a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≠ 0)
1815, 14, 17div2negd 10760 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = (((2↑𝑁) − 1) / 1))
1912, 14negsubdi2d 10352 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
20 2m1e1 11079 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
2120negeqi 10218 . . . . . 6 -(2 − 1) = -1
225, 13negsubdi2i 10311 . . . . . 6 -(2 − 1) = (1 − 2)
2321, 22eqtr3i 2645 . . . . 5 -1 = (1 − 2)
2423a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → -1 = (1 − 2))
2519, 24oveq12d 6622 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
2615div1d 10737 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) − 1) / 1) = ((2↑𝑁) − 1))
2718, 25, 263eqtr3d 2663 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)) = ((2↑𝑁) − 1))
284, 11, 273eqtrd 2659 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  cexp 12800  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator