Theorem geolim 15229

Description: The partial sums in the infinite series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2... converge to (1 / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 15-May-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
geolim	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12283	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 11996	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		geolim.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		geolim.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
5	3, 4	expcnv 15222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
6		ax-1cn 10598	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		subcl 10888	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 3, 7	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
9		1re 10644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	9	ltnri 10752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 < 1
11		fveq2 6673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
12		abs1 14660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs‘1) = 1
13	11, 12	syl6eq 2875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
14	13	breq1d 5079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 1 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < 1))
15	10, 14	mtbiri 329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 1 → ¬ (abs‘𝐴) < 1)
16	15	necon2ai 3048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝐴) < 1 → 𝐴 ≠ 1)
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
18	17	necomd 3074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
19		subeq0 10915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
20	6, 3, 19	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
21	20	necon3bid 3063	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
22	18, 21	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
23	3, 8, 22	divcld 11419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
24		nn0ex 11906	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
25	24	mptex 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V)
27		oveq2 7167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑗))
28		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
29		ovex 7192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝑗) ∈ V
30	27, 28, 29	fvmpt 6771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
31	30	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
32		expcl 13450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
33	3, 32	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
34	31, 33	eqeltrd 2916	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
35		expp1 13439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴↑𝑗) · 𝐴))
36	3, 35	sylan 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴↑𝑗) · 𝐴))
37	3	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	33, 37	mulcomd 10665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑗) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴↑𝑗)))
39	36, 38	eqtrd 2859	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = (𝐴 · (𝐴↑𝑗)))
40	39	oveq1d 7174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 · (𝐴↑𝑗)) / (1 − 𝐴)))
41	8	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
42	22	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
43	37, 33, 41, 42	div23d 11456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (𝐴↑𝑗)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴↑𝑗)))
44	40, 43	eqtrd 2859	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴↑𝑗)))
45		oveq1 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 + 1) = (𝑗 + 1))
46	45	oveq2d 7175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑(𝑛 + 1)) = (𝐴↑(𝑗 + 1)))
47	46	oveq1d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
48		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))
49		ovex 7192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ V
50	47, 48, 49	fvmpt 6771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
51	50	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
52	31	oveq2d 7175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴↑𝑗)))
53	44, 51, 52	3eqtr4d 2869	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗)))
54	1, 2, 5, 23, 26, 34, 53	climmulc2 14996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0))
55	23	mul01d 10842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0) = 0)
56	54, 55	breqtrd 5095	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ 0)
57	8, 22	reccld 11412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
58		seqex 13374	. . . 4 ⊢ seq0( + , 𝐹) ∈ V
59	58	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ V)
60		peano2nn0 11940	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
61		expcl 13450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
62	3, 60, 61	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
63	62, 41, 42	divcld 11419	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
64	51, 63	eqeltrd 2916	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) ∈ ℂ)
65		nn0cn 11910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℂ)
66	65	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
67		pncan 10895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
68	66, 6, 67	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
69	68	oveq2d 7175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (0...((𝑗 + 1) − 1)) = (0...𝑗))
70	69	sumeq1d 15061	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴↑𝑘))
71	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
72	71, 62, 41, 42	divsubdird 11458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
73	17	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 1)
74	60	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
75	37, 73, 74	geoser 15225	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)))
76	51	oveq2d 7175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
77	72, 75, 76	3eqtr4d 2869	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
78		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝜑)
79		elfznn0 13003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	79	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81		geolim.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
82	78, 80, 81	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
83		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
84	83, 1	eleqtrdi 2926	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
85	78, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
86	85, 80	expcld 13513	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
87	82, 84, 86	fsumser 15090	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴↑𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑗))
88	70, 77, 87	3eqtr3rd 2868	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
89	1, 2, 56, 57, 59, 64, 88	climsubc2 14998	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((1 / (1 − 𝐴)) − 0))
90	57	subid1d 10989	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − 0) = (1 / (1 − 𝐴)))
91	89, 90	breqtrd 5095	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  Vcvv 3497   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   · cmul 10545   < clt 10678   − cmin 10873   / cdiv 11300  ℕ₀cn0 11900  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  seqcseq 13372  ↑cexp 13432  abscabs 14596   ⇝ cli 14844  Σcsu 15045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046

This theorem is referenced by:  geolim2  15230  georeclim  15231  geomulcvg  15235  geoisum  15236  cvgrat  15242  eflegeo  15477  geolim3  24931  abelthlem5  25026  logtayllem  25245  zetacvg  25595  knoppcnlem6  33841