MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geolim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geolim 14386
Description: The partial sums in the infinite series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2... converge to (1 / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 15-May-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
Assertion
Ref Expression
geolim (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11554 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11222 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 geolim.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 geolim.2 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
53, 4expcnv 14381 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
6 ax-1cn 9850 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7 subcl 10131 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
86, 3, 7sylancr 693 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
9 1re 9895 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
109ltnri 9997 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 < 1
11 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
12 abs1 13831 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘1) = 1
1311, 12syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
1413breq1d 4587 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 1 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < 1))
1510, 14mtbiri 315 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 1 → ¬ (abs‘𝐴) < 1)
1615necon2ai 2810 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐴) < 1 → 𝐴 ≠ 1)
174, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ 1)
1817necomd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
19 subeq0 10158 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
206, 3, 19sylancr 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
2120necon3bid 2825 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
2218, 21mpbird 245 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
233, 8, 22divcld 10650 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
24 nn0ex 11145 . . . . . . 7 0 ∈ V
2524mptex 6368 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V
2625a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ∈ V)
27 oveq2 6535 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑗))
28 eqid 2609 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
29 ovex 6555 . . . . . . . 8 (𝐴𝑗) ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 6176 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
3130adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
32 expcl 12695 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
333, 32sylan 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
3431, 33eqeltrd 2687 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
35 expp1 12684 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴𝑗) · 𝐴))
363, 35sylan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = ((𝐴𝑗) · 𝐴))
373adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3833, 37mulcomd 9917 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴𝑗)))
3936, 38eqtrd 2643 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) = (𝐴 · (𝐴𝑗)))
4039oveq1d 6542 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 · (𝐴𝑗)) / (1 − 𝐴)))
418adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
4222adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
4337, 33, 41, 42div23d 10687 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · (𝐴𝑗)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
4440, 43eqtrd 2643 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
45 oveq1 6534 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 + 1) = (𝑗 + 1))
4645oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑(𝑛 + 1)) = (𝐴↑(𝑗 + 1)))
4746oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
48 eqid 2609 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))
49 ovex 6555 . . . . . . . 8 ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6176 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
5150adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)))
5231oveq2d 6543 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗)) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · (𝐴𝑗)))
5344, 51, 523eqtr4d 2653 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) = ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗)))
541, 2, 5, 23, 26, 34, 53climmulc2 14161 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0))
5523mul01d 10086 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐴)) · 0) = 0)
5654, 55breqtrd 4603 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴))) ⇝ 0)
578, 22reccld 10643 . . 3 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
58 seqex 12620 . . . 4 seq0( + , 𝐹) ∈ V
5958a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ V)
60 peano2nn0 11180 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
61 expcl 12695 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
623, 60, 61syl2an 492 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
6362, 41, 42divcld 10650 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
6451, 63eqeltrd 2687 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗) ∈ ℂ)
65 nn0cn 11149 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
6665adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℂ)
67 pncan 10138 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
6866, 6, 67sylancl 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
6968oveq2d 6543 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (0...((𝑗 + 1) − 1)) = (0...𝑗))
7069sumeq1d 14225 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴𝑘))
716a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
7271, 62, 41, 42divsubdird 10689 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
7317adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 1)
7460adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
7537, 73, 74geoser 14384 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴↑(𝑗 + 1))) / (1 − 𝐴)))
7651oveq2d 6543 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝐴↑(𝑗 + 1)) / (1 − 𝐴))))
7772, 75, 763eqtr4d 2653 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑗 + 1) − 1))(𝐴𝑘) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
78 simpll 785 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝜑)
79 elfznn0 12257 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8079adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81 geolim.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
8278, 80, 81syl2anc 690 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
83 simpr 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
8483, 1syl6eleq 2697 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
8578, 3syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8685, 80expcld 12825 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
8782, 84, 86fsumser 14254 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)(𝐴𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑗))
8870, 77, 873eqtr3rd 2652 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑(𝑛 + 1)) / (1 − 𝐴)))‘𝑗)))
891, 2, 56, 57, 59, 64, 88climsubc2 14163 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((1 / (1 − 𝐴)) − 0))
9057subid1d 10232 . 2 (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − 0) = (1 / (1 − 𝐴)))
9189, 90breqtrd 4603 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cmin 10117   / cdiv 10533  0cn0 11139  cuz 11519  ...cfz 12152  seqcseq 12618  cexp 12677  abscabs 13768  cli 14009  Σcsu 14210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211
This theorem is referenced by:  geolim2  14387  georeclim  14388  geomulcvg  14392  geoisum  14393  cvgrat  14400  eflegeo  14636  geolim3  23815  abelthlem5  23910  logtayllem  24122  zetacvg  24458  knoppcnlem6  31464
  Copyright terms: Public domain W3C validator