MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geolim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geolim2 14387
Description: The partial sums in the geometric series 𝐴𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1)... converge to ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim2.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
geolim2.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
Assertion
Ref Expression
geolim2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim2
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 geolim2.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
32nn0zd 11312 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 geolim2.4 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
5 geolim.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
65adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 eluznn0 11589 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82, 7sylan 486 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
96, 8expcld 12825 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
10 oveq2 6535 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
11 eqid 2609 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
12 ovex 6555 . . . . . . . 8 (𝐴𝑘) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6176 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
148, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
1514, 4eqtr4d 2646 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
163, 15seqfeq 12643 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) = seq𝑀( + , 𝐹))
17 geolim.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
18 oveq2 6535 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑗))
19 ovex 6555 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑗) ∈ V
2018, 11, 19fvmpt 6176 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
2120adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
225, 17, 21geolim 14386 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
23 seqex 12620 . . . . . . 7 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ V
24 ovex 6555 . . . . . . 7 (1 / (1 − 𝐴)) ∈ V
2523, 24breldm 5238 . . . . . 6 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
2622, 25syl 17 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
27 nn0uz 11554 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
28 expcl 12695 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
295, 28sylan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
3021, 29eqeltrd 2687 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
3127, 2, 30iserex 14181 . . . . 5 (𝜑 → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
3226, 31mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
3316, 32eqeltrrd 2688 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
341, 3, 4, 9, 33isumclim2 14277 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘))
3513adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
36 expcl 12695 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
375, 36sylan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3827, 1, 2, 35, 37, 26isumsplit 14357 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)))
39 0zd 11222 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4027, 39, 35, 37, 22isumclim 14276 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
4138, 40eqtr3d 2645 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) = (1 / (1 − 𝐴)))
42 1re 9895 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
4342ltnri 9997 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 < 1
44 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
45 abs1 13831 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘1) = 1
4644, 45syl6eq 2659 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
4746breq1d 4587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 1 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < 1))
4843, 47mtbiri 315 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 1 → ¬ (abs‘𝐴) < 1)
4948necon2ai 2810 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐴) < 1 → 𝐴 ≠ 1)
5017, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 1)
515, 50, 2geoser 14384 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)))
5251oveq1d 6542 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) = (((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)))
5341, 52eqtr3d 2645 . . . 4 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = (((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)))
5453oveq1d 6542 . . 3 (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))))
55 1cnd 9912 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
56 ax-1cn 9850 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
575, 2expcld 12825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
58 subcl 10131 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴𝑀)) ∈ ℂ)
5956, 57, 58sylancr 693 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (𝐴𝑀)) ∈ ℂ)
60 subcl 10131 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
6156, 5, 60sylancr 693 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
6250necomd 2836 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
63 subeq0 10158 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
6456, 5, 63sylancr 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
6564necon3bid 2825 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
6662, 65mpbird 245 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
6755, 59, 61, 66divsubdird 10689 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))))
68 nncan 10161 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (1 − (𝐴𝑀))) = (𝐴𝑀))
6956, 57, 68sylancr 693 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (1 − (𝐴𝑀))) = (𝐴𝑀))
7069oveq1d 6542 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
7167, 70eqtr3d 2645 . . 3 (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
7259, 61, 66divcld 10650 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
731, 3, 14, 9, 32isumcl 14280 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
7472, 73pncan2d 10245 . . 3 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘))
7554, 71, 743eqtr3rd 2652 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘) = ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
7634, 75breqtrd 4603 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5028  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cmin 10117   / cdiv 10533  0cn0 11139  cuz 11519  ...cfz 12152  seqcseq 12618  cexp 12677  abscabs 13768  cli 14009  Σcsu 14210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211
This theorem is referenced by:  geoisum1  14395  geoisum1c  14396  rpnnen2lem3  14730  rpnnen2lem9  14736  abelthlem7  23913  log2tlbnd  24389  geomcau  32521  stirlinglem10  38773
  Copyright terms: Public domain W3C validator