Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoserg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geoserg 14523
 Description: The value of the finite geometric series 𝐴↑𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1) +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
geoserg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
geoserg.2 (𝜑𝐴 ≠ 1)
geoserg.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
geoserg.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
geoserg (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) = (((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geoserg
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12713 . . . . . 6 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 ax-1cn 9938 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
4 geoserg.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 subcl 10224 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
74adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 geoserg.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
9 elfzouz 12415 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
10 eluznn0 11701 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
118, 9, 10syl2an 494 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
127, 11expcld 12948 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
132, 6, 12fsummulc1 14445 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)))
143a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
1512, 14, 7subdid 10430 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = (((𝐴𝑘) · 1) − ((𝐴𝑘) · 𝐴)))
1612mulid1d 10001 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · 1) = (𝐴𝑘))
177, 11expp1d 12949 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
1817eqcomd 2627 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · 𝐴) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1916, 18oveq12d 6622 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝐴𝑘) · 1) − ((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
2015, 19eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = ((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
2120sumeq2dv 14367 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
22 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
23 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
24 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑀))
25 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
26 geoserg.4 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
274adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 elfzuz 12280 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
29 eluznn0 11701 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
308, 28, 29syl2an 494 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3127, 30expcld 12948 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
3222, 23, 24, 25, 26, 31telfsumo 14461 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)))
3313, 21, 323eqtrrd 2660 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)))
344, 8expcld 12948 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
35 eluznn0 11701 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
368, 26, 35syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
374, 36expcld 12948 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
3834, 37subcld 10336 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
392, 12fsumcl 14397 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
40 geoserg.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 1)
4140necomd 2845 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
42 subeq0 10251 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
433, 4, 42sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
4443necon3bid 2834 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
4541, 44mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
4638, 39, 6, 45divmul3d 10779 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) · (1 − 𝐴))))
4733, 46mpbird 247 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘))
4847eqcomd 2627 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) = (((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   − cmin 10210   / cdiv 10628  ℕ0cn0 11236  ℤ≥cuz 11631  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  ↑cexp 12800  Σcsu 14350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351 This theorem is referenced by:  geoser  14524  rplogsumlem2  25074  rpvmasumlem  25076  dchrisum0flblem1  25097
 Copyright terms: Public domain W3C validator