Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gex1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gex1 17927
 Description: A group or monoid has exponent 1 iff it is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl2.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gex1 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1𝑜))

Proof of Theorem gex1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐸 = 1)
21oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐸(.g𝐺)𝑥) = (1(.g𝐺)𝑥))
3 gexcl2.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 gexcl2.2 . . . . . . . . . 10 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (.g𝐺) = (.g𝐺)
6 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
73, 4, 5, 6gexid 17917 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋 → (𝐸(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
87adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐸(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
93, 5mulg1 17469 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋 → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
109adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
112, 8, 103eqtr3rd 2664 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 = (0g𝐺))
12 velsn 4164 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
1311, 12sylibr 224 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
1413ex 450 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (𝑥𝑋𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
1514ssrdv 3589 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ⊆ {(0g𝐺)})
163, 6mndidcl 17229 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
1817snssd 4309 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → {(0g𝐺)} ⊆ 𝑋)
1915, 18eqssd 3600 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 = {(0g𝐺)})
20 fvex 6158 . . . 4 (0g𝐺) ∈ V
2120ensn1 7964 . . 3 {(0g𝐺)} ≈ 1𝑜
2219, 21syl6eqbr 4652 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ≈ 1𝑜)
23 simpl 473 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ Mnd)
24 1nn 10975 . . . . 5 1 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → 1 ∈ ℕ)
269adantl 482 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝑋) → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
27 en1eqsn 8134 . . . . . . . . . 10 (((0g𝐺) ∈ 𝑋𝑋 ≈ 1𝑜) → 𝑋 = {(0g𝐺)})
2816, 27sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → 𝑋 = {(0g𝐺)})
2928eleq2d 2684 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → (𝑥𝑋𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
3029biimpa 501 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
3130, 12sylib 208 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 = (0g𝐺))
3226, 31eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝑋) → (1(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
3332ralrimiva 2960 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → ∀𝑥𝑋 (1(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
343, 4, 5, 6gexlem2 17918 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 (1(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) → 𝐸 ∈ (1...1))
3523, 25, 33, 34syl3anc 1323 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → 𝐸 ∈ (1...1))
36 elfz1eq 12294 . . 3 (𝐸 ∈ (1...1) → 𝐸 = 1)
3735, 36syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → 𝐸 = 1)
3822, 37impbida 876 1 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1𝑜))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  {csn 4148   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498   ≈ cen 7896  1c1 9881  ℕcn 10964  ...cfz 12268  Basecbs 15781  0gc0g 16021  Mndcmnd 17215  .gcmg 17461  gExcgex 17866 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mulg 17462  df-gex 17870 This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3a  18396  pgpfaclem3  18403
 Copyright terms: Public domain W3C validator