MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gex2abl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gex2abl 18186
Description: A group with exponent 2 (or 1) is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexex.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexex.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gex2abl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem gex2abl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexex.1 . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
21a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝑋 = (Base‘𝐺))
3 eqidd 2622 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 simpl 473 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simp1l 1083 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
6 simp2 1060 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑥𝑋)
7 simp3 1061 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
8 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
91, 8grpass 17363 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑦)))
105, 6, 7, 7, 9syl13anc 1325 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑦)))
11 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (.g𝐺) = (.g𝐺)
121, 11, 8mulg2 17482 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑋 → (2(.g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑦))
137, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑦))
14 simp1r 1084 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝐸 ∥ 2)
15 gexex.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (gEx‘𝐺)
16 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
171, 15, 11, 16gexdvdsi 17930 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝐸 ∥ 2) → (2(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
185, 7, 14, 17syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
1913, 18eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
2019oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)))
211, 8, 16grprid 17385 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
225, 6, 21syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
2310, 20, 223eqtrd 2659 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦) = 𝑥)
2423oveq1d 6625 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑥))
251, 11, 8mulg2 17482 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → (2(.g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑥))
266, 25syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑥))
271, 15, 11, 16gexdvdsi 17930 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝐸 ∥ 2) → (2(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
285, 6, 14, 27syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
2924, 26, 283eqtr2d 2661 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
301, 8grpcl 17362 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
315, 6, 7, 30syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
321, 15, 11, 16gexdvdsi 17930 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋𝐸 ∥ 2) → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (0g𝐺))
335, 31, 14, 32syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (0g𝐺))
341, 11, 8mulg2 17482 . . . . . 6 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)))
3531, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)))
3629, 33, 353eqtr2d 2661 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)))
371, 8grpass 17363 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋𝑥𝑋)) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)))
385, 31, 7, 6, 37syl13anc 1325 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)))
3936, 38eqtr3d 2657 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)))
401, 8grpcl 17362 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝑥𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
415, 7, 6, 40syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
421, 8grplcan 17409 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
435, 31, 41, 31, 42syl13anc 1325 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4439, 43mpbid 222 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
452, 3, 4, 44isabld 18138 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  2c2 11022  cdvds 14918  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  0gc0g 16032  Grpcgrp 17354  .gcmg 17472  gExcgex 17877  Abelcabl 18126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-seq 12750  df-dvds 14919  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-mulg 17473  df-gex 17881  df-cmn 18127  df-abl 18128
This theorem is referenced by:  lt6abl  18228
  Copyright terms: Public domain W3C validator