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Theorem gexdvds 17927
Description: The only 𝑁 that annihilate all the elements of the group are the multiples of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3 · = (.g𝐺)
gexid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexdvds ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝑥, ·

Proof of Theorem gexdvds
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 gexcl.2 . . . . . 6 𝐸 = (gEx‘𝐺)
3 gexid.3 . . . . . 6 · = (.g𝐺)
4 gexid.4 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
51, 2, 3, 4gexdvdsi 17926 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝐸𝑁) → (𝑁 · 𝑥) = 0 )
653expia 1264 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝐸𝑁 → (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
76ralrimdva 2964 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝐸𝑁 → ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
87adantr 481 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 → ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
9 noel 3900 . . . . . . 7 ¬ (abs‘𝑁) ∈ ∅
10 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (abs‘𝑁) → (𝑦 · 𝑥) = ((abs‘𝑁) · 𝑥))
1110eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (abs‘𝑁) → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ))
1211ralbidv 2981 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (abs‘𝑁) → (∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ))
1312elrab 3350 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑁) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ))
14 simprr 795 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)
1514eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ (abs‘𝑁) ∈ ∅))
1613, 15syl5rbbr 275 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) ∈ ∅ ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 )))
1716rbaibd 948 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) ∧ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ) → ((abs‘𝑁) ∈ ∅ ↔ (abs‘𝑁) ∈ ℕ))
189, 17mtbii 316 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) ∧ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ) → ¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
1918ex 450 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 → ¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ))
20 nn0abscl 13993 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
2120ad2antlr 762 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
22 elnn0 11245 . . . . . . 7 ((abs‘𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
2321, 22sylib 208 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
2423ord 392 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 0))
2519, 24syld 47 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 → (abs‘𝑁) = 0))
26 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2726oveq1d 6625 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑁) · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
2827eqeq1d 2623 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → (((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
29 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑁) = -𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝑥) = (-𝑁 · 𝑥))
3029eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ (-𝑁 · 𝑥) = 0 ))
31 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝐺) = (invg𝐺)
321, 3, 31mulgneg 17488 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑋) → (-𝑁 · 𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑥)))
33323expa 1262 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → (-𝑁 · 𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑥)))
344, 31grpinvid 17404 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
3534ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
3635eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → 0 = ((invg𝐺)‘ 0 ))
3733, 36eqeq12d 2636 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → ((-𝑁 · 𝑥) = 0 ↔ ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑥)) = ((invg𝐺)‘ 0 )))
38 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
391, 3mulgcl 17487 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁 · 𝑥) ∈ 𝑋)
40393expa 1262 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁 · 𝑥) ∈ 𝑋)
411, 4grpidcl 17378 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 0𝑋)
4241ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → 0𝑋)
431, 31, 38, 40, 42grpinv11 17412 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → (((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑥)) = ((invg𝐺)‘ 0 ) ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
4437, 43bitrd 268 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → ((-𝑁 · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
4530, 44sylan9bbr 736 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → (((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
46 zre 11332 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4746ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑁 ∈ ℝ)
4847absord 14095 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
4928, 45, 48mpjaodan 826 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → (((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
5049ralbidva 2980 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
5150adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
52 0dvds 14933 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
5352ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
54 simprl 793 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → 𝐸 = 0)
5554breq1d 4628 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (𝐸𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
56 zcn 11333 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5756ad2antlr 762 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → 𝑁 ∈ ℂ)
5857abs00ad 13971 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
5953, 55, 583bitr4rd 301 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝐸𝑁))
6025, 51, 593imtr3d 282 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0𝐸𝑁))
61 elrabi 3346 . . . 4 (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → 𝐸 ∈ ℕ)
6246adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
63 nnrp 11793 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ ℝ+)
64 modval 12617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐸) = (𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))))
6562, 63, 64syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) = (𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))))
6665adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → (𝑁 mod 𝐸) = (𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))))
6766oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = ((𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))) · 𝑥))
68 simplll 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝐺 ∈ Grp)
69 simpllr 798 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 nnz 11350 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ ℤ)
7170ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝐸 ∈ ℤ)
72 rerpdivcl 11812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑁 / 𝐸) ∈ ℝ)
7362, 63, 72syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐸) ∈ ℝ)
7473flcld 12546 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐸)) ∈ ℤ)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → (⌊‘(𝑁 / 𝐸)) ∈ ℤ)
7671, 75zmulcld 11439 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) ∈ ℤ)
77 simprl 793 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝑥𝑋)
78 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (-g𝐺) = (-g𝐺)
791, 3, 78mulgsubdir 17510 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑋)) → ((𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))) · 𝑥) = ((𝑁 · 𝑥)(-g𝐺)((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥)))
8068, 69, 76, 77, 79syl13anc 1325 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))) · 𝑥) = ((𝑁 · 𝑥)(-g𝐺)((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥)))
81 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → (𝑁 · 𝑥) = 0 )
82 dvdsmul1 14934 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐸)) ∈ ℤ) → 𝐸 ∥ (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))))
8371, 75, 82syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝐸 ∥ (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))))
841, 2, 3, 4gexdvdsi 17926 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝐸 ∥ (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))) → ((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥) = 0 )
8568, 77, 83, 84syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥) = 0 )
8681, 85oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑥)(-g𝐺)((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥)) = ( 0 (-g𝐺) 0 ))
87 simpll 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
8841ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 0𝑋)
891, 4, 78grpsubid 17427 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0𝑋) → ( 0 (-g𝐺) 0 ) = 0 )
9087, 88, 89syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ( 0 (-g𝐺) 0 ) = 0 )
9190adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ( 0 (-g𝐺) 0 ) = 0 )
9286, 91eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑥)(-g𝐺)((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥)) = 0 )
9367, 80, 923eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 )
9493expr 642 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁 · 𝑥) = 0 → ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ))
9594ralimdva 2957 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 → ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ))
96 modlt 12626 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐸) < 𝐸)
9762, 63, 96syl2an 494 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) < 𝐸)
98 zmodcl 12637 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ0)
9998adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ0)
10099nn0red 11303 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℝ)
101 nnre 10978 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ ℝ)
102101adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℝ)
103100, 102ltnled 10135 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐸) < 𝐸 ↔ ¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸)))
10497, 103mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸))
1051, 2, 3, 4gexlem2 17925 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ) → 𝐸 ∈ (1...(𝑁 mod 𝐸)))
106 elfzle2 12294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 ∈ (1...(𝑁 mod 𝐸)) → 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸))
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ) → 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸))
1081073expia 1264 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸)))
109108impancom 456 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ) → ((𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ → 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸)))
110109con3d 148 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ) → (¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸) → ¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ))
111110ex 450 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 → (¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸) → ¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ)))
112111ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 → (¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸) → ¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ)))
113104, 112mpid 44 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 → ¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ))
114 elnn0 11245 . . . . . . . 8 ((𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod 𝐸) = 0))
11599, 114sylib 208 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod 𝐸) = 0))
116115ord 392 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ → (𝑁 mod 𝐸) = 0))
11795, 113, 1163syld 60 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 → (𝑁 mod 𝐸) = 0))
118 simpr 477 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℕ)
119 simplr 791 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
120 dvdsval3 14918 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝐸) = 0))
121118, 119, 120syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝐸𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝐸) = 0))
122117, 121sylibrd 249 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0𝐸𝑁))
12361, 122sylan2 491 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0𝐸𝑁))
124 eqid 2621 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
1251, 3, 4, 2, 124gexlem1 17922 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
126125adantr 481 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
12760, 123, 126mpjaodan 826 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0𝐸𝑁))
1288, 127impbid 202 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  c0 3896   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   · cmul 9892   < clt 10025  cle 10026  cmin 10217  -cneg 10218   / cdiv 10635  cn 10971  0cn0 11243  cz 11328  +crp 11783  ...cfz 12275  cfl 12538   mod cmo 12615  abscabs 13915  cdvds 14914  Basecbs 15788  0gc0g 16028  Grpcgrp 17350  invgcminusg 17351  -gcsg 17352  .gcmg 17468  gExcgex 17873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-dvds 14915  df-0g 16030  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-gex 17877
This theorem is referenced by:  gexdvds2  17928
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