MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexdvdsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexdvdsi 17919
Description: Any group element is annihilated by any multiple of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3 · = (.g𝐺)
gexid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexdvdsi ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem gexdvdsi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1061 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → 𝐸𝑁)
2 dvdszrcl 14912 . . . . 5 (𝐸𝑁 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3 divides 14909 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
42, 3biadan2 673 . . . 4 (𝐸𝑁 ↔ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
51, 4sylib 208 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
65simprd 479 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁)
7 simpl1 1062 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
8 simpr 477 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
95simplld 790 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → 𝐸 ∈ ℤ)
109adantr 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℤ)
11 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴𝑋)
12 gexcl.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
13 gexid.3 . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
1412, 13mulgass 17500 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)))
157, 8, 10, 11, 14syl13anc 1325 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)))
16 gexcl.2 . . . . . . . 8 𝐸 = (gEx‘𝐺)
17 gexid.4 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
1812, 16, 13, 17gexid 17917 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
1911, 18syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
2019oveq2d 6620 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)) = (𝑥 · 0 ))
2112, 13, 17mulgz 17489 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 0 ) = 0 )
22213ad2antl1 1221 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 0 ) = 0 )
2315, 20, 223eqtrd 2659 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = 0 )
24 oveq1 6611 . . . . 5 ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
2524eqeq1d 2623 . . . 4 ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
2623, 25syl5ibcom 235 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
2726rexlimdva 3024 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
286, 27mpd 15 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604   · cmul 9885  cz 11321  cdvds 14907  Basecbs 15781  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  .gcmg 17461  gExcgex 17866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742  df-dvds 14908  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mulg 17462  df-gex 17870
This theorem is referenced by:  gexdvds  17920  gex2abl  18175
  Copyright terms: Public domain W3C validator