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Theorem gexexlem 18901
Description: Lemma for gexex 18902. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexex.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexex.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexex.3 𝑂 = (od‘𝐺)
gexexlem.1 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
gexexlem.2 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
gexexlem.3 (𝜑𝐴𝑋)
gexexlem.4 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝐴))
Assertion
Ref Expression
gexexlem (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑂   𝜑,𝑦   𝑦,𝑋

Proof of Theorem gexexlem
Dummy variables 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexexlem.3 . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
2 gexex.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 gexex.3 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
42, 3odcl 18593 . . 3 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
51, 4syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
6 gexexlem.2 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11943 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
8 gexexlem.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
9 ablgrp 18840 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
11 gexex.2 . . . 4 𝐸 = (gEx‘𝐺)
122, 11, 3gexod 18640 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∥ 𝐸)
1310, 1, 12syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∥ 𝐸)
148ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
1510ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Grp)
16 prmnn 16006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
196ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐸 ∈ ℕ)
201ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴𝑋)
212, 11, 3gexnnod 18642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
2215, 19, 20, 21syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
2318, 22pccld 16175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
2417, 23nnexpcld 13594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℕ)
2524nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℤ)
26 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (.g𝐺) = (.g𝐺)
272, 26mulgcl 18183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋)
2815, 25, 20, 27syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋)
29 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑥𝑋)
302, 11, 3gexnnod 18642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑋) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ)
3115, 19, 29, 30syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ)
32 pcdvds 16188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑂𝑥) ∈ ℕ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∥ (𝑂𝑥))
3318, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∥ (𝑂𝑥))
3418, 31pccld 16175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ∈ ℕ0)
3517, 34nnexpcld 13594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℕ)
36 nndivdvds 15604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑂𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℕ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∥ (𝑂𝑥) ↔ ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℕ))
3731, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∥ (𝑂𝑥) ↔ ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℕ))
3833, 37mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℕ)
3938nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℤ)
402, 26mulgcl 18183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
4115, 39, 29, 40syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
422, 3, 26odmulg 18612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) = (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))))
4315, 20, 25, 42syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝐴) = (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))))
44 pcdvds 16188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∥ (𝑂𝐴))
4518, 22, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∥ (𝑂𝐴))
46 gcdeq 15891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℕ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) gcd (𝑂𝐴)) = (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∥ (𝑂𝐴)))
4724, 22, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) gcd (𝑂𝐴)) = (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∥ (𝑂𝐴)))
4845, 47mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) gcd (𝑂𝐴)) = (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))
4948oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))) = ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))))
5043, 49eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝐴) = ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))))
5150oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) = (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))))
522, 11, 3gexnnod 18642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) ∈ ℕ)
5315, 19, 28, 52syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) ∈ ℕ)
5453nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) ∈ ℂ)
5524nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℂ)
5624nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ≠ 0)
5754, 55, 56divcan3d 11409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) = (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)))
5851, 57eqtr2d 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) = ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))))
592, 11, 3gexnnod 18642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) ∈ ℕ)
6015, 19, 41, 59syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) ∈ ℕ)
6160nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) ∈ ℂ)
6235nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℂ)
6338nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℂ)
6438nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ≠ 0)
6531nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝑥) ∈ ℂ)
6635nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≠ 0)
6765, 62, 66divcan1d 11405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) = (𝑂𝑥))
682, 3, 26odmulg 18612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋 ∧ ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℤ) → (𝑂𝑥) = ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) gcd (𝑂𝑥)) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))))
6915, 29, 39, 68syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝑥) = ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) gcd (𝑂𝑥)) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))))
7035nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℤ)
71 dvdsmul1 15619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℤ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∥ (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
7239, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∥ (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
7372, 67breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∥ (𝑂𝑥))
74 gcdeq 15891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℕ ∧ (𝑂𝑥) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) gcd (𝑂𝑥)) = ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ↔ ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∥ (𝑂𝑥)))
7538, 31, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) gcd (𝑂𝑥)) = ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ↔ ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∥ (𝑂𝑥)))
7673, 75mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) gcd (𝑂𝑥)) = ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
7776oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) gcd (𝑂𝑥)) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))))
7867, 69, 773eqtrrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
7961, 62, 63, 64, 78mulcanad 11263 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) = (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))
8058, 79oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) gcd (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = (((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
81 nndivdvds 15604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℕ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℕ))
8222, 24, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℕ))
8345, 82mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℕ)
8483nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℤ)
85 gcdcom 15850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) = ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))))
8684, 70, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) = ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))))
87 pcndvds2 16192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ¬ 𝑝 ∥ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))))
8818, 22, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))))
89 coprm 16043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑝 ∥ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ↔ (𝑝 gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1))
9018, 84, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ∥ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ↔ (𝑝 gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1))
9188, 90mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1)
92 prmz 16007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
9392adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
94 rpexp1i 16053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℤ ∧ (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ∈ ℕ0) → ((𝑝 gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1 → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1))
9593, 84, 34, 94syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1 → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1))
9691, 95mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1)
9780, 86, 963eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) gcd (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = 1)
98 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐺) = (+g𝐺)
993, 2, 98odadd 18899 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) gcd (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = 1) → (𝑂‘(((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = ((𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))))
10014, 28, 41, 97, 99syl31anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘(((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = ((𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))))
10158, 79oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = (((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
102100, 101eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘(((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = (((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
103 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) → (𝑂𝑦) = (𝑂‘(((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))))
104103breq1d 5067 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) → ((𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝐴) ↔ (𝑂‘(((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) ≤ (𝑂𝐴)))
105 gexexlem.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝐴))
106105ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝐴))
107106ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑦𝑋 (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝐴))
1082, 98grpcl 18049 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) ∈ 𝑋)
10915, 28, 41, 108syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) ∈ 𝑋)
110104, 107, 109rspcdva 3622 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘(((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) ≤ (𝑂𝐴))
111102, 110eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ≤ (𝑂𝐴))
11283nnred 11641 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℝ)
11322nnred 11641 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
11435nnrpd 12417 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℝ+)
115112, 113, 114lemuldivd 12468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ≤ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ≤ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))))
116111, 115mpbid 233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ≤ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
117 nnrp 12388 . . . . . . . . . 10 ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℕ → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℝ+)
118 nnrp 12388 . . . . . . . . . 10 ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℕ → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℝ+)
119 nnrp 12388 . . . . . . . . . 10 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
120 rpregt0 12391 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℝ+ → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
121 rpregt0 12391 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℝ+ → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))))
122 rpregt0 12391 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐴) ∈ ℝ+ → ((𝑂𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑂𝐴)))
123 lediv2 11518 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∧ ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∧ ((𝑂𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑂𝐴))) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ≤ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))))
124120, 121, 122, 123syl3an 1152 . . . . . . . . . 10 (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℝ+ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℝ+ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ≤ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))))
125117, 118, 119, 124syl3an 1152 . . . . . . . . 9 (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℕ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℕ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ≤ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))))
12635, 24, 22, 125syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ≤ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))))
127116, 126mpbird 258 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))
12817nnred 11641 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
12934nn0zd 12073 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ∈ ℤ)
13023nn0zd 12073 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑂𝐴)) ∈ ℤ)
131 prmuz2 16028 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
132131adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
133 eluz2gt1 12308 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑝)
134132, 133syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 < 𝑝)
135128, 129, 130, 134leexp2d 13603 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑂𝐴)) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))))
136127, 135mpbird 258 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))
137136ralrimiva 3179 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))
1382, 3odcl 18593 . . . . . . . 8 (𝑥𝑋 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
139138adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
140139nn0zd 12073 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
1415nn0zd 12073 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
142141adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
143 pc2dvds 16203 . . . . . 6 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))
144140, 142, 143syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))
145137, 144mpbird 258 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑂𝐴))
146145ralrimiva 3179 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∥ (𝑂𝐴))
1472, 11, 3gexdvds2 18639 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (𝐸 ∥ (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∥ (𝑂𝐴)))
14810, 141, 147syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ∥ (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∥ (𝑂𝐴)))
149146, 148mpbird 258 . 2 (𝜑𝐸 ∥ (𝑂𝐴))
150 dvdseq 15652 . 2 ((((𝑂𝐴) ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑂𝐴) ∥ 𝐸𝐸 ∥ (𝑂𝐴))) → (𝑂𝐴) = 𝐸)
1515, 7, 13, 149, 150syl22anc 834 1 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  cexp 13417  cdvds 15595   gcd cgcd 15831  cprime 16003   pCnt cpc 16161  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Grpcgrp 18041  .gcmg 18162  odcod 18581  gExcgex 18582  Abelcabl 18836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-od 18585  df-gex 18586  df-cmn 18837  df-abl 18838
This theorem is referenced by:  gexex  18902
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