MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexlem2 17929
Description: Any positive annihilator of all the group elements is an upper bound on the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3 · = (.g𝐺)
gexid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexlem2 ((𝐺𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ) → 𝐸 ∈ (1...𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝑥, ·

Proof of Theorem gexlem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6617 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
21eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
32ralbidv 2981 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 → (∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
43elrab 3350 . . 3 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
5 gexcl.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
6 gexid.3 . . . . . 6 · = (.g𝐺)
7 gexid.4 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
8 gexcl.2 . . . . . 6 𝐸 = (gEx‘𝐺)
9 eqid 2621 . . . . . 6 {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
105, 6, 7, 8, 9gexval 17925 . . . . 5 (𝐺𝑉𝐸 = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < )))
11 ne0i 3902 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ≠ ∅)
12 ifnefalse 4075 . . . . . 6 ({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ≠ ∅ → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < )) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < )) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ))
1410, 13sylan9eq 2675 . . . 4 ((𝐺𝑉𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → 𝐸 = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ))
15 ssrab2 3671 . . . . . 6 {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ ℕ
16 nnuz 11675 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16sseqtri 3621 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ (ℤ‘1)
1811adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐺𝑉𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ≠ ∅)
19 infssuzcl 11724 . . . . . . 7 (({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ≠ ∅) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 })
2017, 18, 19sylancr 694 . . . . . 6 ((𝐺𝑉𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 })
2115, 20sseldi 3585 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ)
22 infssuzle 11723 . . . . . . 7 (({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
2317, 22mpan 705 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
2423adantl 482 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
25 elrabi 3346 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → 𝑁 ∈ ℕ)
2625nnzd 11433 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → 𝑁 ∈ ℤ)
27 fznn 12358 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
2928adantl 482 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
3021, 24, 29mpbir2and 956 . . . 4 ((𝐺𝑉𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁))
3114, 30eqeltrd 2698 . . 3 ((𝐺𝑉𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → 𝐸 ∈ (1...𝑁))
324, 31sylan2br 493 . 2 ((𝐺𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝐸 ∈ (1...𝑁))
33323impb 1257 1 ((𝐺𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ) → 𝐸 ∈ (1...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  {crab 2911  wss 3559  c0 3896  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  infcinf 8299  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   < clt 10026  cle 10027  cn 10972  cz 11329  cuz 11639  ...cfz 12276  Basecbs 15792  0gc0g 16032  .gcmg 17472  gExcgex 17877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-gex 17881
This theorem is referenced by:  gexdvds  17931  gexcl3  17934  gex1  17938
  Copyright terms: Public domain W3C validator