MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmabl 18882
Description: The image of an abelian group 𝐺 under a group homomorphism 𝐹 is an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmabl.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmabl.y 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmabl.p + = (+g𝐺)
ghmabl.q = (+g𝐻)
ghmabl.f ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
ghmabl.1 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
ghmabl.3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
Assertion
Ref Expression
ghmabl (𝜑𝐻 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ghmabl
StepHypRef Expression
1 ghmabl.f . . 3 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
2 ghmabl.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 ghmabl.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝐻)
4 ghmabl.p . . 3 + = (+g𝐺)
5 ghmabl.q . . 3 = (+g𝐻)
6 ghmabl.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
7 ghmabl.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
8 ablgrp 18840 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9ghmgrp 18161 . 2 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
11 ablcmn 18842 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
127, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
132, 3, 4, 5, 1, 6, 12ghmcmn 18881 . 2 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
14 isabl 18839 . 2 (𝐻 ∈ Abel ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ CMnd))
1510, 13, 14sylanbrc 583 1 (𝜑𝐻 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  ontowfo 6346  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Grpcgrp 18041  CMndccmn 18835  Abelcabl 18836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fo 6354  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-cmn 18837  df-abl 18838
This theorem is referenced by:  efabl  25061
  Copyright terms: Public domain W3C validator