MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmabl 18178
Description: The image of an abelian group 𝐺 under a group homomorphism 𝐹 is an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmabl.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmabl.y 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmabl.p + = (+g𝐺)
ghmabl.q = (+g𝐻)
ghmabl.f ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
ghmabl.1 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
ghmabl.3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
Assertion
Ref Expression
ghmabl (𝜑𝐻 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ghmabl
StepHypRef Expression
1 ghmabl.f . . 3 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
2 ghmabl.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 ghmabl.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝐻)
4 ghmabl.p . . 3 + = (+g𝐺)
5 ghmabl.q . . 3 = (+g𝐻)
6 ghmabl.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
7 ghmabl.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
8 ablgrp 18138 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9ghmgrp 17479 . 2 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
11 ablcmn 18139 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
127, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
132, 3, 4, 5, 1, 6, 12ghmcmn 18177 . 2 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
14 isabl 18137 . 2 (𝐻 ∈ Abel ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ CMnd))
1510, 13, 14sylanbrc 697 1 (𝜑𝐻 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  ontowfo 5855  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Grpcgrp 17362  CMndccmn 18133  Abelcabl 18134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-cmn 18135  df-abl 18136
This theorem is referenced by:  efabl  24234
  Copyright terms: Public domain W3C validator