MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmmulg 17593
Description: A homomorphism of monoids preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmmulg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ghmmulg.s · = (.g𝐺)
ghmmulg.t × = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
ghmmulg ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))

Proof of Theorem ghmmulg
StepHypRef Expression
1 ghmmhm 17591 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
2 ghmmulg.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 ghmmulg.s . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
4 ghmmulg.t . . . . . . 7 × = (.g𝐻)
52, 3, 4mhmmulg 17504 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
61, 5syl3an1 1356 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
763expa 1262 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
87an32s 845 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
983adantl2 1216 . 2 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
10 simpl1 1062 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
1110, 1syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
12 nnnn0 11243 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
1312ad2antll 764 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
14 simpl3 1064 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝐵)
152, 3, 4mhmmulg 17504 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹𝑋)))
1611, 13, 14, 15syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹𝑋)))
1716fveq2d 6152 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹𝑋))))
18 ghmgrp1 17583 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
1910, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Grp)
20 nnz 11343 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
2120ad2antll 764 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
222, 3mulgcl 17480 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2319, 21, 14, 22syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24 eqid 2621 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
25 eqid 2621 . . . . . . 7 (invg𝐻) = (invg𝐻)
262, 24, 25ghminv 17588 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
2710, 23, 26syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
28 ghmgrp2 17584 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
2910, 28syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐻 ∈ Grp)
30 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
312, 30ghmf 17585 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
3210, 31syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
3332, 14ffvelrnd 6316 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
3430, 4, 25mulgneg 17481 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝐻)) → (--𝑁 × (𝐹𝑋)) = ((invg𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹𝑋))))
3529, 21, 33, 34syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹𝑋)) = ((invg𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹𝑋))))
3617, 27, 353eqtr4d 2665 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (--𝑁 × (𝐹𝑋)))
372, 3, 24mulgneg 17481 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
3819, 21, 14, 37syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
39 simprl 793 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4039recnd 10012 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4140negnegd 10327 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → --𝑁 = 𝑁)
4241oveq1d 6619 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
4338, 42eqtr3d 2657 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
4443fveq2d 6152 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
4536, 44eqtr3d 2657 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
4641oveq1d 6619 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
4745, 46eqtr3d 2657 . 2 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
48 simp2 1060 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
49 elznn0nn 11335 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
5048, 49sylib 208 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
519, 47, 50mpjaodan 826 1 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  -cneg 10211  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  Basecbs 15781   MndHom cmhm 17254  Grpcgrp 17343  invgcminusg 17344  .gcmg 17461   GrpHom cghm 17578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mulg 17462  df-ghm 17579
This theorem is referenced by:  ghmcyg  18218  mulgrhm2  19766  dchrabs  24885
  Copyright terms: Public domain W3C validator