MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  giclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem giclcl 18350
Description: Isomorphism implies the left side is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
giclcl (𝑅𝑔 𝑆𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem giclcl
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 18347 . . 3 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 4307 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
31, 2bitri 276 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4 gimghm 18342 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5 ghmgrp1 18298 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
76exlimiv 1922 . 2 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
83, 7sylbi 218 1 (𝑅𝑔 𝑆𝑅 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  c0 4288   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  Grpcgrp 18041   GrpHom cghm 18293   GrpIso cgim 18335  𝑔 cgic 18336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-1o 8091  df-ghm 18294  df-gim 18337  df-gic 18338
This theorem is referenced by:  gicer  18354
  Copyright terms: Public domain W3C validator