MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  giclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem giclcl 17708
Description: Isomorphism implies the left side is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
giclcl (𝑅𝑔 𝑆𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem giclcl
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 17705 . . 3 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 3929 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
31, 2bitri 264 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4 gimghm 17700 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5 ghmgrp1 17656 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
76exlimiv 1857 . 2 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
83, 7sylbi 207 1 (𝑅𝑔 𝑆𝑅 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1703  wcel 1989  wne 2793  c0 3913   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  Grpcgrp 17416   GrpHom cghm 17651   GrpIso cgim 17693  𝑔 cgic 17694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-1o 7557  df-ghm 17652  df-gim 17695  df-gic 17696
This theorem is referenced by:  gicer  17712  gicerOLD  17713
  Copyright terms: Public domain W3C validator