Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  goldbachth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem goldbachth 40758
Description: Goldbach's theorem: Two different Fermat numbers are coprime. See ProofWiki "Goldbach's theorem", 31-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Goldbach%27s_Theorem or Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
goldbachth ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Proof of Theorem goldbachth
StepHypRef Expression
1 nn0re 11245 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 nn0re 11245 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
3 lttri4 10066 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀𝑀 < 𝑁))
41, 2, 3syl2an 494 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀𝑀 < 𝑁))
543adant3 1079 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀𝑀 < 𝑁))
6 fmtnonn 40742 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
76nnzd 11425 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
8 fmtnonn 40742 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ)
98nnzd 11425 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
10 gcdcom 15159 . . . . . . . . 9 (((FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
117, 9, 10syl2anr 495 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
12113adant3 1079 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
13 goldbachthlem2 40757 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)
1412, 13eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)
15143exp 1261 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
1615impcom 446 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
17163adant3 1079 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
18 eqneqall 2801 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (𝑁𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
1918com12 32 . . . 4 (𝑁𝑀 → (𝑁 = 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
20193ad2ant3 1082 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → (𝑁 = 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
21 goldbachthlem2 40757 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)
22213expia 1264 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
23223adant3 1079 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → (𝑀 < 𝑁 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
2417, 20, 233jaod 1389 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → ((𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
255, 24mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  1c1 9881   < clt 10018  0cn0 11236  cz 11321   gcd cgcd 15140  FermatNocfmtno 40738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-fmtno 40739
This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1lem2  40796
  Copyright terms: Public domain W3C validator