Theorem grpbn0 17644

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2752	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 17643	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4		ne0i 4056	. 2 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∅c0 4050  ‘cfv 6041  Basecbs 16051  0_gc0g 16294  Grpcgrp 17615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-0g 16296  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-grp 17618

This theorem is referenced by:  grpn0  17647  dfgrp3  17707  issubg2  17802  grpissubg  17807  ghmrn  17866  gexcl3  18194  gexcl2  18196  sylow1lem1  18205  sylow1lem3  18207  sylow1lem5  18209  pgpfi  18212  pgpfi2  18213  sylow2blem3  18229  slwhash  18231  fislw  18232  gexex  18448  lt6abl  18488  ablfac1lem  18659  ablfac1b  18661  ablfac1c  18662  ablfac1eu  18664  pgpfac1lem2  18666  pgpfac1lem3a  18667  ablfaclem3  18678  dvdsr02  18848  lmodbn0  19067  lmodsn0  19070  rmodislmodlem  19124  rmodislmod  19125  islss3  19153  0ringnnzr  19463  isclmp  23089  dfacbasgrp  38172