Theorem grpbn0 17372

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2621	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 17371	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4		ne0i 3897	. 2 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∅c0 3891  ‘cfv 5847  Basecbs 15781  0_gc0g 16021  Grpcgrp 17343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346

This theorem is referenced by:  grpn0  17375  dfgrp3  17435  issubg2  17530  grpissubg  17535  ghmrn  17594  gexcl3  17923  gexcl2  17925  sylow1lem1  17934  sylow1lem3  17936  sylow1lem5  17938  pgpfi  17941  pgpfi2  17942  sylow2blem3  17958  slwhash  17960  fislw  17961  gexex  18177  lt6abl  18217  ablfac1lem  18388  ablfac1b  18390  ablfac1c  18391  ablfac1eu  18393  pgpfac1lem2  18395  pgpfac1lem3a  18396  ablfaclem3  18407  dvdsr02  18577  lmodbn0  18794  lmodsn0  18797  islss3  18878  0ringnnzr  19188  isclmp  22805  dfacbasgrp  37156