MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpcl 17194
Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpcl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcl
StepHypRef Expression
1 grpmnd 17193 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2 grpcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpcl.p . . 3 + = (+g𝐺)
42, 3mndcl 17065 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
51, 4syl3an1 1350 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  +gcplusg 15709  Mndcmnd 17058  Grpcgrp 17186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-nul 4707
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ral 2895  df-rex 2896  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-br 4573  df-iota 5749  df-fv 5793  df-ov 6525  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-grp 17189
This theorem is referenced by:  grprcan  17219  grprinv  17233  grplmulf1o  17253  grpinvadd  17257  grpsubf  17258  grpsubadd  17267  grpaddsubass  17269  grpnpcan  17271  grpsubsub4  17272  grppnpcan2  17273  dfgrp3  17278  grplactcnv  17282  imasgrp  17295  mulgcl  17323  mulgaddcomlem  17327  mulgdir  17337  subgcl  17368  grpissubg  17378  nsgacs  17394  nmzsubg  17399  nsgid  17404  eqger  17408  eqgcpbl  17412  qusgrp  17413  qusadd  17415  ghmrn  17437  idghm  17439  ghmpreima  17446  ghmnsgima  17448  ghmnsgpreima  17449  ghmf1o  17454  conjghm  17455  conjnmz  17458  qusghm  17461  gaid  17496  subgga  17497  gass  17498  gaorber  17505  gastacl  17506  gastacos  17507  cntzsubg  17533  galactghm  17587  lactghmga  17588  symgsssg  17651  symgfisg  17652  symggen  17654  sylow1lem2  17778  sylow2blem1  17799  sylow2blem2  17800  sylow2blem3  17801  sylow3lem1  17806  sylow3lem2  17807  subgdisj1  17868  ablsub4  17982  abladdsub4  17983  mulgdi  17996  mulgghm  17998  invghm  18003  ghmplusg  18013  odadd1  18015  odadd2  18016  odadd  18017  gex2abl  18018  gexexlem  18019  torsubg  18021  oddvdssubg  18022  frgpnabllem2  18041  ringacl  18342  ringpropd  18346  drngmcl  18524  abvtrivd  18604  idsrngd  18626  lmodacl  18638  lmodvacl  18641  lmodprop2d  18689  prdslmodd  18731  pwssplit2  18822  asclghm  19100  psraddcl  19145  mplind  19264  evlslem1  19277  evl1addd  19467  evpmodpmf1o  19701  scmataddcl  20078  mdetralt  20170  mdetunilem6  20179  opnsubg  21658  ghmcnp  21665  qustgpopn  21670  ngprcan  22159  nmotri  22280  ncvspi  22685  efsubm  24013  abvcxp  25016  ttgcontlem1  25478  abliso  28828  ogrpaddltbi  28851  ogrpaddltrbid  28853  ogrpinvlt  28856  archiabllem2a  28880  archiabllem2c  28881  archiabllem2b  28882  dvrdir  28922  matunitlindflem1  32373  gicabl  36485  isnumbasgrplem2  36491  mendlmod  36580
  Copyright terms: Public domain W3C validator