MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvid 17392
Description: The inverse of the identity element of a group. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvid.u 0 = (0g𝐺)
grpinvid.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvid (𝐺 ∈ Grp → (𝑁0 ) = 0 )

Proof of Theorem grpinvid
StepHypRef Expression
1 eqid 2626 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 grpinvid.u . . . 4 0 = (0g𝐺)
31, 2grpidcl 17366 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4 eqid 2626 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
51, 4, 2grplid 17368 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
63, 5mpdan 701 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
7 grpinvid.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
81, 4, 2, 7grpinvid1 17386 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 ))
93, 3, 8mpd3an23 1423 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 ))
106, 9mpbird 247 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  0gc0g 16016  Grpcgrp 17338  invgcminusg 17339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342
This theorem is referenced by:  grpinvnz  17402  grpsubid1  17416  mulgneg  17476  mulginvcom  17481  mulgz  17484  0subg  17535  eqgid  17562  odnncl  17880  gexdvds  17915  gsumzinv  18261  gsumsub  18264  dprdfinv  18334  mplsubglem  19348  dsmmsubg  20001  dchrisum0re  25097  baerlem3lem1  36462
  Copyright terms: Public domain W3C validator