MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvid 18098
Description: The inverse of the identity element of a group. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvid.u 0 = (0g𝐺)
grpinvid.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvid (𝐺 ∈ Grp → (𝑁0 ) = 0 )

Proof of Theorem grpinvid
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 grpinvid.u . . . 4 0 = (0g𝐺)
31, 2grpidcl 18069 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4 eqid 2818 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
51, 4, 2grplid 18071 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
63, 5mpdan 683 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
7 grpinvid.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
81, 4, 2, 7grpinvid1 18092 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 ))
93, 3, 8mpd3an23 1454 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 ))
106, 9mpbird 258 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045
This theorem is referenced by:  grpinvnz  18108  grpsubid1  18122  mulgneg  18184  mulginvcom  18190  mulgz  18193  0subg  18242  eqgid  18270  odnncl  18602  gexdvds  18638  gsumzinv  18994  gsumsub  18997  dprdfinv  19070  mplsubglem  20142  dsmmsubg  20815  dchrisum0re  26016  qusker  30845  baerlem3lem1  38723
  Copyright terms: Public domain W3C validator