Theorem grpinvnz 17258

Description: The inverse of a nonzero group element is not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvnzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvnzcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinvnzcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvnz	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )

Proof of Theorem grpinvnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑋) = 0 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘ 0 ))
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑋) = 0 ) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘ 0 ))
3		grpinvnzcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grpinvnzcl.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	3, 4	grpinvinv 17254	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑋) = 0 ) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
7		grpinvnzcl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	7, 4	grpinvid 17248	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
9	8	ad2antrr 758	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑋) = 0 ) → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
10	2, 6, 9	3eqtr3d 2652	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑋) = 0 ) → 𝑋 = 0 )
11	10	ex 449	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = 0 → 𝑋 = 0 ))
12	11	necon3d 2803	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ 0 → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 ))
13	12	3impia 1253	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5790  Basecbs 15644  0_gc0g 15872  Grpcgrp 17194  inv_gcminusg 17195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-0g 15874  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-grp 17197  df-minusg 17198

This theorem is referenced by:  grpinvnzcl  17259