Theorem grpinvval2 17545

Description: A df-neg 10307-like equation for inverse in terms of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpinvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinvval2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvval2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ( 0 − 𝑋))

Proof of Theorem grpinvval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvval2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 17497	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
4		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		grpinvsub.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6		grpsubcl.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7	1, 4, 5, 6	grpsubval 17512	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 − 𝑋) = ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
8	3, 7	sylan 487	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 − 𝑋) = ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
9	1, 5	grpinvcl 17514	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	1, 4, 2	grplid 17499	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
11	9, 10	syldan 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
12	8, 11	eqtr2d 2686	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ( 0 − 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +_gcplusg 15988  0_gc0g 16147  Grpcgrp 17469  inv_gcminusg 17470  -_gcsg 17471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474

This theorem is referenced by:  grpsubadd0sub  17549  matinvgcell  20289  istgp2  21942  nrmmetd  22426  nminv  22472