MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grplid 17384
Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p + = (+g𝐺)
grplid.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grplid ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid
StepHypRef Expression
1 grpmnd 17361 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2 grpbn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grplid.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 grplid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
52, 3, 4mndlid 17243 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
61, 5sylan 488 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  0gc0g 16032  Mndcmnd 17226  Grpcgrp 17354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357
This theorem is referenced by:  grprcan  17387  grpid  17389  isgrpid2  17390  grprinv  17401  grpinvid1  17402  grpinvid2  17403  grpidinv2  17406  grpinvid  17408  grplcan  17409  grpasscan1  17410  grpidlcan  17413  grplmulf1o  17421  grpidssd  17423  grpinvadd  17425  grpinvval2  17430  grplactcnv  17450  imasgrp  17463  mulgaddcom  17496  mulgdirlem  17504  subg0  17532  issubg2  17541  issubg4  17545  0subg  17551  isnsg3  17560  nmzsubg  17567  ssnmz  17568  eqger  17576  eqgid  17578  qusgrp  17581  qus0  17584  ghmid  17598  conjghm  17623  conjnmz  17626  subgga  17665  cntzsubg  17701  sylow1lem2  17946  sylow2blem2  17968  sylow2blem3  17969  sylow3lem1  17974  lsmmod  18020  lsmdisj2  18027  pj1rid  18047  abladdsub4  18151  ablpncan2  18153  ablpnpcan  18157  ablnncan  18158  odadd1  18183  odadd2  18184  oddvdssubg  18190  dprdfadd  18351  pgpfac1lem3a  18407  ringlz  18519  ringrz  18520  isabvd  18752  lmod0vlid  18825  lmod0vs  18828  psr0lid  19327  mplsubglem  19366  mplcoe1  19397  evpmodpmf1o  19874  ocvlss  19948  lsmcss  19968  mdetunilem6  20355  mdetunilem9  20358  ghmcnp  21841  tgpt0  21845  qustgpopn  21846  mdegaddle  23755  ply1rem  23844  ogrpinvOLD  29524  ogrpinv0le  29525  ogrpaddltrbid  29530  ogrpinv0lt  29532  ogrpinvlt  29533  isarchi3  29550  archirngz  29552  archiabllem1b  29555  orngsqr  29613  ornglmulle  29614  orngrmulle  29615  ofldchr  29623  matunitlindflem1  33072  lfl0f  33871  lfladd0l  33876  lkrlss  33897  lkrin  33966  dvhgrp  35911  baerlem3lem1  36511  mapdh6bN  36541  hdmap1l6b  36616  hdmapinvlem3  36727  hdmapinvlem4  36728  hdmapglem7b  36735  rnglz  41198
  Copyright terms: Public domain W3C validator