Theorem grplid 18127

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18104	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 17925	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 582	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  0_gc0g 16707  Mndcmnd 17905  Grpcgrp 18097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100

This theorem is referenced by:  grprcan  18131  grpid  18133  isgrpid2  18134  grprinv  18147  grpinvid1  18148  grpinvid2  18149  grpidinv2  18152  grpinvid  18154  grplcan  18155  grpasscan1  18156  grpidlcan  18159  grplmulf1o  18167  grpidssd  18169  grpinvadd  18171  grpinvval2  18176  grplactcnv  18196  imasgrp  18209  mulgaddcom  18245  mulgdirlem  18252  subg0  18279  issubg2  18288  issubg4  18292  0subg  18298  isnsg3  18306  nmzsubg  18311  ssnmz  18312  eqger  18324  eqgid  18326  qusgrp  18329  qus0  18332  ghmid  18358  conjghm  18383  conjnmz  18386  subgga  18424  cntzsubg  18461  sylow1lem2  18718  sylow2blem2  18740  sylow2blem3  18741  sylow3lem1  18746  lsmmod  18795  lsmdisj2  18802  pj1rid  18822  abladdsub4  18928  ablpncan2  18930  ablpnpcan  18934  ablnncan  18935  odadd1  18962  odadd2  18963  oddvdssubg  18969  dprdfadd  19136  pgpfac1lem3a  19192  ringlz  19331  ringrz  19332  isabvd  19585  lmod0vlid  19658  lmod0vs  19661  psr0lid  20169  mplsubglem  20208  mplcoe1  20240  mhpaddcl  20332  evpmodpmf1o  20734  ocvlss  20810  lsmcss  20830  mdetunilem6  21220  mdetunilem9  21223  ghmcnp  22717  tgpt0  22721  qustgpopn  22722  mdegaddle  24662  ply1rem  24751  gsumsubg  30679  ogrpinv0le  30711  ogrpaddltrbid  30716  ogrpinv0lt  30718  ogrpinvlt  30719  cyc3genpmlem  30788  isarchi3  30811  archirngz  30813  archiabllem1b  30816  freshmansdream  30854  orngsqr  30872  ornglmulle  30873  orngrmulle  30874  ofldchr  30882  qusker  30913  mxidlprm  30972  dimkerim  31018  matunitlindflem1  34882  lfl0f  36199  lfladd0l  36204  lkrlss  36225  lkrin  36294  dvhgrp  38237  baerlem3lem1  38837  mapdh6bN  38867  hdmap1l6b  38941  hdmapinvlem3  39050  hdmapinvlem4  39051  hdmapglem7b  39058  rnglz  44149