MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grplinv 17392
Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p + = (+g𝐺)
grpinv.u 0 = (0g𝐺)
grpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grplinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grplinv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grpinv.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
3 grpinv.u . . . . 5 0 = (0g𝐺)
4 grpinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
51, 2, 3, 4grpinvval 17385 . . . 4 (𝑋𝐵 → (𝑁𝑋) = (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
65adantl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
71, 2, 3grpinveu 17380 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ∃!𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 )
8 riotacl2 6581 . . . 4 (∃!𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 → (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
106, 9eqeltrd 2698 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
11 oveq1 6614 . . . . 5 (𝑦 = (𝑁𝑋) → (𝑦 + 𝑋) = ((𝑁𝑋) + 𝑋))
1211eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑦 = (𝑁𝑋) → ((𝑦 + 𝑋) = 0 ↔ ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 ))
1312elrab 3347 . . 3 ((𝑁𝑋) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 ))
1413simprbi 480 . 2 ((𝑁𝑋) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )
1510, 14syl 17 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  ∃!wreu 2909  {crab 2911  cfv 5849  crio 6567  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  +gcplusg 15865  0gc0g 16024  Grpcgrp 17346  invgcminusg 17347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349  df-minusg 17350
This theorem is referenced by:  grprinv  17393  grpinvid1  17394  grpinvid2  17395  isgrpinv  17396  grplrinv  17397  grplcan  17401  grpasscan2  17403  grpinvinv  17406  grpinvssd  17416  grpsubadd  17427  grplactcnv  17442  prdsinvlem  17448  imasgrp  17455  ghmgrp  17463  mulgdirlem  17496  issubg2  17533  isnsg3  17552  nmzsubg  17559  ssnmz  17560  eqger  17568  qusgrp  17573  conjghm  17615  galcan  17661  cntzsubg  17693  lsmmod  18012  lsmdisj2  18019  rngnegr  18519  unitlinv  18601  isdrng2  18681  lmodvneg1  18830  psrlinv  19319  evpmodpmf1o  19864  grpvlinv  20123  tgpconncompeqg  21828  qustgpopn  21836  clmvslinv  22821  ogrpinv0le  29513  ogrpaddltrbid  29518  ogrpinv0lt  29520  ogrpinvlt  29521  lflnegl  33864  dvhgrp  35897
  Copyright terms: Public domain W3C validator