MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grplinv 18090
Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p + = (+g𝐺)
grpinv.u 0 = (0g𝐺)
grpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grplinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grplinv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grpinv.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
3 grpinv.u . . . . 5 0 = (0g𝐺)
4 grpinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
51, 2, 3, 4grpinvval 18082 . . . 4 (𝑋𝐵 → (𝑁𝑋) = (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
65adantl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
71, 2, 3grpinveu 18076 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ∃!𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 )
8 riotacl2 7119 . . . 4 (∃!𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 → (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
106, 9eqeltrd 2910 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
11 oveq1 7152 . . . . 5 (𝑦 = (𝑁𝑋) → (𝑦 + 𝑋) = ((𝑁𝑋) + 𝑋))
1211eqeq1d 2820 . . . 4 (𝑦 = (𝑁𝑋) → ((𝑦 + 𝑋) = 0 ↔ ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 ))
1312elrab 3677 . . 3 ((𝑁𝑋) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 ))
1413simprbi 497 . 2 ((𝑁𝑋) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )
1510, 14syl 17 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  ∃!wreu 3137  {crab 3139  cfv 6348  crio 7102  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045
This theorem is referenced by:  grprinv  18091  grpinvid1  18092  grpinvid2  18093  isgrpinv  18094  grplrinv  18095  grplcan  18099  grpasscan2  18101  grpinvinv  18104  grpinvssd  18114  grpsubadd  18125  grplactcnv  18140  prdsinvlem  18146  imasgrp  18153  ghmgrp  18161  mulgdirlem  18196  issubg2  18232  isnsg3  18250  nmzsubg  18255  ssnmz  18256  eqger  18268  qusgrp  18273  conjghm  18327  galcan  18372  cntzsubg  18405  lsmmod  18730  lsmdisj2  18737  rngnegr  19274  unitlinv  19356  isdrng2  19441  lmodvneg1  19606  psrlinv  20105  evpmodpmf1o  20668  grpvlinv  20934  tgpconncompeqg  22647  qustgpopn  22655  clmvslinv  23639  ogrpinv0le  30643  ogrpaddltrbid  30648  ogrpinv0lt  30650  ogrpinvlt  30651  lflnegl  36092  dvhgrp  38123
  Copyright terms: Public domain W3C validator