MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpnpcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpnpcan 18129
Description: Cancellation law for subtraction (npcan 10883 analog). (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p + = (+g𝐺)
grpsubadd.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpnpcan ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem grpnpcan
StepHypRef Expression
1 grpsubadd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2818 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
31, 2grpinvcl 18089 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
433adant2 1123 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
5 grpsubadd.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
61, 5grpcl 18049 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
74, 6syld3an3 1401 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
8 grpsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
91, 5, 2, 8grpsubval 18087 . . 3 (((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ((invg𝐺)‘𝑌)) = ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) + ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌))))
107, 4, 9syl2anc 584 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ((invg𝐺)‘𝑌)) = ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) + ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌))))
111, 5, 8grppncan 18128 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋)
124, 11syld3an3 1401 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) ((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋)
131, 5, 2, 8grpsubval 18087 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)))
14133adant1 1122 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)))
1514eqcomd 2824 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) = (𝑋 𝑌))
161, 2grpinvinv 18104 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
17163adant2 1123 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
1815, 17oveq12d 7163 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑌)) + ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌))) = ((𝑋 𝑌) + 𝑌))
1910, 12, 183eqtr3rd 2862 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042  -gcsg 18043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046
This theorem is referenced by:  grpsubsub4  18130  grpnpncan  18132  grpnnncan2  18134  dfgrp3  18136  nsgconj  18249  conjghm  18327  conjnmz  18330  sylow2blem1  18674  ablpncan3  18866  lmodvnpcan  19617  coe1subfv  20362  ipsubdir  20714  ipsubdi  20715  mdetunilem9  21157  subgntr  22642  ghmcnp  22650  tgpt0  22654  r1pid  24680  archiabllem1a  30747  archiabllem2a  30750  ornglmulle  30805  orngrmulle  30806  kercvrlsm  39561  hbtlem5  39606
  Copyright terms: Public domain W3C validator