MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpplusf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpplusf 17358
Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpplusf.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpplusf.2 𝐹 = (+𝑓𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpplusf (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem grpplusf
StepHypRef Expression
1 grpmnd 17353 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2 grpplusf.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpplusf.2 . . 3 𝐹 = (+𝑓𝐺)
42, 3mndplusf 17233 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
51, 4syl 17 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987   × cxp 5074  wf 5845  cfv 5849  Basecbs 15784  +𝑓cplusf 17163  Mndcmnd 17218  Grpcgrp 17346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-plusf 17165  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349
This theorem is referenced by:  symgtgp  21818
  Copyright terms: Public domain W3C validator