MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grprinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grprinv 18091
Description: The right inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p + = (+g𝐺)
grpinv.u 0 = (0g𝐺)
grpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grprinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (𝑁𝑋)) = 0 )

Proof of Theorem grprinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grpinv.p . . 3 + = (+g𝐺)
31, 2grpcl 18049 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
4 grpinv.u . . 3 0 = (0g𝐺)
51, 4grpidcl 18069 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
61, 2, 4grplid 18071 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
71, 2grpass 18050 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
81, 2, 4grpinvex 18051 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑥) = 0 )
9 simpr 485 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
10 grpinv.n . . 3 𝑁 = (invg𝐺)
111, 10grpinvcl 18089 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
121, 2, 4, 10grplinv 18090 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )
133, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12grprinvd 17872 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (𝑁𝑋)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045
This theorem is referenced by:  grpinvid1  18092  grpinvid2  18093  grplrinv  18095  grpasscan1  18100  grpinvinv  18104  grplmulf1o  18111  grpinvadd  18115  grpsubid  18121  dfgrp3  18136  mulgdirlem  18196  subginv  18224  nmzsubg  18255  eqger  18268  qusinv  18277  ghminv  18303  conjnmz  18330  gacan  18373  cntzsubg  18405  oppggrp  18423  oppginv  18425  psgnuni  18556  sylow2blem3  18676  frgpuplem  18827  ringnegl  19273  unitrinv  19357  isdrng2  19441  lmodvnegid  19605  lmodvsinv2  19738  lspsolvlem  19843  evpmodpmf1o  20668  grpvrinv  20935  mdetralt  21145  ghmcnp  22650  qustgpopn  22655  isngp4  23148  clmvsrinv  23638  ogrpinv0le  30643  ogrpaddltbi  30646  ogrpinv0lt  30650  ogrpinvlt  30651  archiabllem1b  30748  orngsqr  30804  lbsdiflsp0  30921  ldepsprlem  44455
  Copyright terms: Public domain W3C validator